Bài 101 (Thi thử vào lớp 10, THPT chuyên Hạ Long, Quảng Ninh, năm 2019)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 2 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 87
Cho \(x, y\) là càc số dương thỏa mãn \(x+y+z=\sqrt{2}\). Chứng minh
\[ \begin{aligned} & \sqrt{2019 x^2+2 x y+2019 y^2}+\sqrt{2019 y^2+2 y z+2019 z^2} \\ &+\sqrt{2019 z^2+2 z x+2019 x^2} \geq 2 \sqrt{2020} . \end{aligned} \]
Cách giải 1
Áp dụng đẳng thức:
"Cho \(a,b,c,k,p \in \mathbb{R} \), khi đó:
\[ k a^2+p a b+k b^2=\frac{2 k+p}{4}(a+b)^2+\frac{2 k-p}{4}(a-b)^2 \]
Chú ý:
- Nếu \(2 k \gt p \Rightarrow k a^2+p a b+k b^2 \geq \frac{2 k+p}{4}(a+b)^2\). Dấu đẳng thức xày ra \(\Leftrightarrow a=b\).
- Nếu \(2 k \lt p \Rightarrow k a^2+p a b+k b^2 \leq \frac{2 k+p}{4}(a+b)^2\). Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\).
ta được:
\[ \begin{aligned} & \sqrt{2019 x^2+2 x y+2019 y^2} \\ & =\sqrt{\frac{4040}{4}(x+y)^2+\frac{4036}{4}(x-y)^2} \geq \sqrt{1010}(x+y) . \end{aligned} \]
Tương tự:
\[ \begin{aligned} & \sqrt{2019 y^2+2 y z+2019 z^2} \geq \sqrt{1010}(y+z) \\ & \sqrt{2019 z^2+2 z x+2019 x^2} \geq \sqrt{1010}(z+x) . \end{aligned} \]
Suy ra:
\[ \begin{aligned} \mathrm{VT} & \geq \sqrt{1010}(x+y+y+z+z+x)=2 \sqrt{1010} \cdot \sqrt{2} \\ = & 2 \sqrt{2020} . \end{aligned} \]
Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{\sqrt{2}}{3}\). Bài toán được chứng minh.