Bài 102 (Tạp chí Toán học tuổi trẻ số 567 tháng 9 năm 2024)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 2 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 83
Cho ba số thực dương \(a, b, c\) và \(k \geq 1\). Chứng minh rằng
\[ \frac{\sqrt{a^2-a b+b^2}}{a+b+k c}+\frac{\sqrt{b^2-b c+c^2}}{b+c+k a}+\frac{\sqrt{c^2-c a+a^2}}{c+a+k b} \geq \frac{3}{2+k}\]
Cách giải 1
Ta có đẳng thức sau:
"Cho \(a,b,c,k,p \in \mathbb{R} \), khi đó:
\[ k a^2+p a b+k b^2=\frac{2 k+p}{4}(a+b)^2+\frac{2 k-p}{4}(a-b)^2 \]
Chú ý:
- Nếu \(2 k \gt p \Rightarrow k a^2+p a b+k b^2 \geq \frac{2 k+p}{4}(a+b)^2\). Dấu đẳng thức xày ra \(\Leftrightarrow a=b\).
- Nếu \(2 k \lt p \Rightarrow k a^2+p a b+k b^2 \leq \frac{2 k+p}{4}(a+b)^2\). Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\).
Áp dụng ta có:
\[ \sqrt{a^2-a b+b^2} \geq \sqrt{\frac{(a+b)^2}{4}}=\frac{a+b}{2} \]
Tương tự:
\[ \sqrt{b^2-b c+c^2} \geq \frac{b+c}{2} \]
\[ \sqrt{c^2-c a+a^2} \geq \frac{c+a}{2} \]
Suy ra:
\[ \mathrm{VT} \geq \frac{a+b}{2(a+b+k c)}+\frac{b+c}{2(b+c+k a)}+\frac{c+a}{2(c+a+k b)} \].
Xét tính đúng đắn của bất đẳng thức sau:
\[ \frac{a+b}{2(a+b+k c)}+\frac{b+c}{2(b+c+k a)}+\frac{c+a}{2(c+a+k b)} \geq \frac{3}{2+k} \]
\[ \begin{aligned} & \Leftrightarrow \frac{a+b}{2(a+b+k c)}-\frac{1}{2+k}+\frac{b+c}{2(b+c+k a)} \\ & \quad-\frac{1}{2+k}+\frac{c+a}{2(c+a+k b)}-\frac{1}{2+k} \geq 0 \\ & \Leftrightarrow \frac{a+b-2 c}{a+b+k c}+\frac{b+c-2 a}{b+c+k a}+\frac{c+a-2 b}{c+a+k b} \geq 0 \quad \text { (1). } \end{aligned} \]
Vì bất đẳng thức đề ra và (1) đều là bất đẳng thức đối xứng, không mất tính tổng quát ta giả sử \(a \geq b \geq c\). Khi đó:
\[ \left\{\begin{array}{l} a+b-2 c \geq 0 \geq b+c-2 a \\ 0<(a+b+k c) \leq(c+a+k b) \leq(b+c+k a) \end{array}\right. \]
Suy ra:
\[ \quad \frac{a+b-2 c}{a+b+k c} \geq \frac{a+b-2 c}{c+a+k b} \]
\[ \begin{aligned} & \frac{b+c-2 a}{b+c+k a} \geq \frac{b+c-2 a}{c+a+k b} \\ & \frac{c+a-2 b}{c+a+k b}=\frac{c+a-2 b}{c+a+k b} \end{aligned} \]
Cộng vế với vế của (2), (3), (4) ta có:
\[ \begin{aligned} \mathrm{VT}(1) & \geq \frac{a+b-2 c}{c+a+k b}+\frac{b+c-2 a}{c+a+k b}+\frac{c+a-2 b}{c+a+k b} \\ & =0 \end{aligned} \]
Vậy
\[ \frac{\sqrt{a^2-a b+b^2}}{a+b+k c}+\frac{\sqrt{b^2-b c+c^2}}{b+c+k a}+\frac{\sqrt{c^2-c a+a^2}}{c+a+k b} \geq \frac{3}{2+k} \]
Dấu đẳng thức của bài toán xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\). Bài toán được chứng minh.