Bài 103 (Tạp chí Toán học tuổi trẻ số 567 tháng 9 năm 2024)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 2 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 93
Cho \(a, b, c\) là ba số thực dương thỏa mãn
\[ \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} \geq \frac{3}{2} \]
Chứng minh rằng
\[ \begin{aligned} & \frac{b}{\sqrt{3 a^2-4 a b+3 b^2}}+\frac{c}{\sqrt{3 b^2-4 b c+3 c^2}} \\ &+\frac{a}{\sqrt{3 c^2-4 c a+3 a^2}} \end{aligned} \]
Cách giải 1
Dễ thấy
\[ \begin{aligned} 3 a^2-4 a b+3 b^2 & =\frac{1}{2}(a+b)^2+\frac{5}{2}(a-b)^2 \\ & \geq \frac{1}{2}(a+b)^2 \end{aligned} \]
Suy ra:
\[ \frac{b}{\sqrt{3 a^2-4 a b+3 b^2}} \leq \frac{\sqrt{2} b}{a + b} \]
Tương tự:
\[ \begin{aligned} & \frac{c}{\sqrt{3 b^2-4 b c+3 c^2}} \leq \frac{\sqrt{2} c}{b+c} \\ & \frac{a}{\sqrt{3 c^2-4 c a+3 a^2}} \leq \frac{\sqrt{2} a}{c+a} . \end{aligned} \]
Cộng vế với vế của ba bất đằng thức trên ta được:
\[ \begin{aligned} & \frac{b}{\sqrt{3 a^2-4 a b+3 b^2}}+\frac{c}{\sqrt{3 b^2-4 b c+3 c^2}} \\ & +\frac{a}{\sqrt{3 c^2-4 c a+3 a^2}} \leq \sqrt{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}\right) . \end{aligned} \]
Nhưng
\[ \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}=3 \]
và giả thiết cho
\[ \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} \geq \frac{3}{2} \]
suy ra:
\[ \frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a} \leq \frac{3}{2} \]
Do đó:
\[ \frac{b}{\sqrt{3 a^2-4 a b+3 b^2}}+\frac{c}{\sqrt{3 b^2-4 b c+3 c^2}} \]
\[ +\frac{a}{\sqrt{3 c^2-4 c a+3 a^2}} \leq \sqrt{2} \frac{3}{2}=\frac{3}{\sqrt{2}} \]
Dấu đẳng thức của bài toán xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\). Bài toán được chứng minh.