Bài 105 (Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 567 tháng 9 năm 2024)

09-12-2024 | 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 4 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 96

Cách giải 1

Gọi vế trái của bài toán là \(M\), ta có:

\[ M=\frac{a^2}{\left(2 a^2+3 a b+2 b^2\right)-a^2} + \frac{b^2}{\left(2 b^2+3 b c+2 c^2\right)-b^2}+\frac{c^2}{\left(2 c^2+3 c a+2 a^2\right)-c^2} \]

\[ =\frac{a^2}{\left(2 a^2+3 a b+2 b^2\right)-a^2}+1+\frac{b^2}{\left(2 b^2+3 b c+2 c^2\right)-b^2} +1+ \frac{c^2}{\left(2 c^2+3 c a+2 a^2\right)-c^2}+1-3 \]

\[ = \frac{\left(2 a^2+3 a b+2 b^2\right)}{\left(2 a^2+3 a b+2 b^2\right)-a^2}+\frac{\left(2 b^2+3 b c+2 c^2\right)}{\left(2 b^2+3 b c+2 c^2\right)-b^2} + \frac{\left(2 c^2+3 c a+2 a^2\right)}{\left(2 c^2+3 c a+2 a^2\right)-c^2}-3 \]

\[= \frac{1}{1-\frac{a^2}{2 a^2+3 a b+2 b^2}}+\frac{1}{1-\frac{b^2}{2 b^2+3 b c+2 c^2}} + \frac{1}{1-\frac{c^2}{2 c^2+3 c a+2 a^2}}-3 \]

Theo bất đẳng thức Schwarz ta có:

\[ M \geq \frac{9}{3-\left(\frac{a^2}{2 a^2+3 a b+2 b^2}+\frac{b^2}{2 b^2+3 b c+2 c^2}+\frac{c^2}{2 c^2+3 c a+2 a^2}\right)} - 3 \]

Bây giờ ta đi đánh giá biểu thức:

\[ P=\frac{a^2}{2 a^2+3 a b+2 b^2}+\frac{b^2}{2 b^2+3 b c+2 c^2}+\frac{c^2}{2 c^2+3 c a+2 a^2} \]

Thật vậy ta dễ dàng chứng minh được

\[ \frac{7 a^2}{2 a^2+3 a b+2 b^2} \geq \frac{3 a^2}{a^2+a b+b^2} \]

Đánh giá tương tự với hai biểu thức còn lại, rồi cộng vế theo vế ba bất đẳng thức đó lại sẽ được:

\[ \frac{7}{3} P \geq \frac{a^2}{a^2+a b+b^2}+\frac{b^2}{b^2+b c+c^2}+\frac{c^2}{c^2+c a+a^2} \]

Tiếp theo ta đánh giá biểu thức

\[ A=\frac{a^2}{a^2+a b+b^2}+\frac{b^2}{b^2+b c+c^2}+\frac{c^2}{c^2+c a+a^2} \]

Thật vậy theo bất đẳng thức Schwarz thì

\[ \frac{a^2}{a^2+a b+b^2}+\frac{c^2}{c(a+b+c)} \geq \frac{(a+c)^2}{a^2+b^2+c^2+a b+b c+c a} \]

\[ \frac{b^2}{b^2+b c+c^2}+\frac{a^2}{a(a+b+c)} \geq \frac{(b+a)^2}{a^2+b^2+c^2+a b+b c+c a} \]

\[ \frac{c^2}{c^2+c a+a^2}+\frac{b^2}{b(a+b+c)} \geq \frac{(c+b)^2}{a^2+b^2+c^2+a b+b c+c a} \]

Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên rồi rút gọn sẽ được: \(A+1 \geq 2 \Leftrightarrow A \geq 1\). Vậy

\[ \frac{7}{3} P \geq \frac{a^2}{a^2+a b+b^2}+\frac{b^2}{b^2+b c+c^2}+\frac{c^2}{c^2+c a+a^2} \geq 1 \]

\[ \Rightarrow P \geq \frac{3}{7} \]

Do đó:

\[ \begin{aligned} M & \geq \frac{b^2}{3-\left(\frac{a^2}{2 a^2+3 a b+2 b^2}+\frac{b^2}{2 b^2+3 b c+2 c^2}+\frac{c^2}{2 c^2+3 c a+2 a^2}\right)} -3 \\ & \geq \frac{9}{3-\frac{3}{7}}-3 \\ & =\frac{1}{2} . \end{aligned} \]

Dấu đẳng thức của bài toán xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\). Bài toán được chứng minh.