Bài 110 (Tạp chí TH &TT bài số 6 tháng 11/2023)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 4 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 100
Cho \(a, b, c\) là các số thực dương. Chứng minh rằng:
\[ \begin{aligned} \frac{a^{5}}{b^{2} \sqrt{\left(a^{2}+3 a b+b^{2}\right)^{3}}} & +\frac{b^{5}}{c^{2} \sqrt{\left(b^{2}+3 b c+c^{2}\right)^{3}}} \\ & +\frac{c^{5}}{a^{2} \sqrt{\left(c^{2}+3 c a+a^{2}\right)^{3}}} \end{aligned} \frac{3}{5 \sqrt{5}} \]
Cách giải 1
Đặt vế trái của bài toán đề ra là \(M\). Vì
\[ a^{2}+3 a b+b^{2}=\frac{5}{4}(a+b)^{2}-\frac{1}{4}(a-b)^{2} \leq \frac{5}{4}(a+b)^{2} \]
suy ra:
\[ \frac{a^{5}}{b^{2} \sqrt{\left(a^{2}+3 a b+b^{2}\right)^{3}}} \geq \frac{8 a^{5}}{5 \sqrt{5} b^{2}(a+b)^{3}} \]
Theo bất đẳng thức Cauchy thì:
\[ 2. \frac{(2 a)^{5}}{(a+b)^{3}}+3(a+b)^{2} \geq 5 \sqrt[5]{\frac{(2 a)^{10}}{(a+b)^{6}}(a+b)^{6}} = 5.4 a^{2} \]
Do đó:
\[ \frac{a^{5}}{(a+b)^{3}} \geq \frac{20 a^{2}-3(a+b)^{2}}{64} \geq \frac{20 a^{2}-6 a^{2}-6 b^{2}}{64} \]
Dẫn đến:
\[ \frac{a^{5}}{(a+b)^{3}} \geq \frac{7 a^{2}-3 b^{2}}{32} \]
Vậy
\[ \frac{8 a^{5}}{5 \sqrt{5} b^{2}(a+b)^{3}} \geq \frac{7 a^{2}}{4.5 \sqrt{5} b^{2}}-\frac{3}{4.5 \sqrt{5}} \]
Tương tự:
\[ \frac{8 b^{5}}{5 \sqrt{5} c^{2}(b+c)^{3}} \geq \frac{7 b^{2}}{4.5 \sqrt{5} c^{2}}-\frac{3}{4.5 \sqrt{5}} \]
\[ \frac{8 c^{5}}{5 \sqrt{5} a^{2}(c+a)^{3}} \geq \frac{7 c^{2}}{4,5 \sqrt{5} a^{2}}-\frac{3}{4.5 \sqrt{5}} \]
Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta được:
\[ \begin{aligned} M & \geq \frac{7}{4.5 \sqrt{5}}\left(\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}\right)-\frac{9}{4.5 \sqrt{5}} \\ & \geq \frac{7.3}{4.5 \sqrt{5}}-\frac{9}{4.5 \sqrt{5}}=\frac{3}{5 \sqrt{5}} . \end{aligned} \]
Dấu đẳng thức cùa bài toán xảy ra \($\Leftrightarrow a=b=c\). Bài toán được chứng minh.