Bài 142 (Nguyễn Văn Hòa đề xuất)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 92
Cho \(a,b,c \geq 0\) thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\). Chứng minh rằng:
\[ \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} +\frac{c^2}{a} + abc \geq 4\]
Cách giải 1
Không mất tính tổng quát giả sử \(a \geq b \geq c\). Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
\[ \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} +\frac{c^2}{a} + abc = (\frac{a^2}{b} + a^2b) + (\frac{b^2}{c} + b^2c) + (\frac{c^2}{a} + c^2a) + abc - (a^2b+b^2c + c^2a) \]
\[ \geq 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 +abc - (a^2b+b^2c + c^2a) = 6 + c(a-b)(b-c) - b(a^2+c^2) \]
Do \(a \geq b \geq c \rightarrow c(a-b)(b-c) \geq 0 \) nên ta có
\[ 6 + c(a-b)(b-c) - b(a^2+c^2) \geq 6 - b(3-b^2) = 4 + (b+2)(b-1)^2 \geq 4 \]
Điều phải chứng minh, dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\).