Bài 143
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 90
Cho \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\). Chứng minh rằng:
\[ \frac{a^4}{1+bc} +\frac{b^4}{1+ca} +\frac{c^4}{1+ab} \geq \frac{a^2}{1+a^2} + \frac{b^2}{1+b^2} + \frac{c^2}{1+c^2} \]
Cách giải 1
Áp dụng bất đẳng thức
\[ \frac{x_1^2}{y_1} + \frac{x_2^2}{y_2} + \dots + \frac{x_n^2}{y_n} \geq \frac{(x_1+x_2+ \dots + x_n)^2}{y_1 + y_2 + \dots + y_n} \]
Ta có:
\[ \frac{a^4}{1+bc} +\frac{b^4}{1+ca} +\frac{c^4}{1+ab} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3+ab+bc+ca} \geq \frac{9}{3+a^2+b^2+c^2} = \frac{9}{3+3} = \frac{3}{2} \]
Ta đi chứng minh:
\[ \frac{a^2}{1+a^2} + \frac{b^2}{1+b^2} + \frac{c^2}{1+c^2} \leq \frac{3}{2} \]
Ta có bất đẳng thức phụ:
\[ \dfrac{x}{1+x} \leq \dfrac{1}{4}x + \dfrac{1}{4} \]
với \(0 \lt x \lt 3\)
Thật vậy:
\[ \dfrac{x}{1+x} \leq \dfrac{1}{4}x + \dfrac{1}{4} \leftrightarrow 4x \leq (x+1)^2 \leftrightarrow (x-1)^2 \geq 0\]
Đúng với mọi \(0 \lt x \lt 3\), dấu = xảy ra khi \(x=1\). Áp dụng ta có:
\[ \frac{a^2}{1+a^2} + \frac{b^2}{1+b^2} + \frac{c^2}{1+c^2} \leq \dfrac{1}{4}a^2 + \dfrac{1}{4}b^2 + \dfrac{1}{4}c^2 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{3}{2} \]
Vậy ta có điều phải chứng minh, dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\).