Bài 145 (Lê Thư)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 4 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 91
Cho \(a,b,c\) là các số thực không âm thỏa mãn \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng:
\[ P = \frac{1}{\sqrt{3+a^2}} + \frac{1}{\sqrt{3+b^2}} + \frac{1}{\sqrt{3+c^2}} \leq \frac{3}{2} \]
Cách giải 1
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a \geq b \geq c\).
+) Trường hợp 1: \(a \geq \dfrac{7}{4}\). Chúng ta có \(x^2+y^2 \geq \dfrac{(x+y)^2}{2} \)
\[ P \leq \frac{1}{\sqrt{3+a^2}} + \sqrt{\frac{2(6+b^2+c^2)}{9+3(b^2+c^2)+b^2c^2}} \leq \frac{1}{\sqrt{3+a^2}} + \sqrt{\frac{2(6+b^2+c^2)}{9+3(b^2+c^2)}} \leq \frac{1}{\sqrt{3+a^2}} + \sqrt{\frac{24+2(b+c)^2}{18+3(b+c)^2}} \]
\[ P \leq \frac{1}{\sqrt{3+a^2}} + \sqrt{\frac{24+2(3-a)^2}{18+3(3-a)^2}} \leq 1.4996 <1.5 \]
đạt được tại \(a = \dfrac{7}{4}\). Chú ý: \(f(t) = \dfrac{6+t}{9+3t}\).
+) Trường hợp 2: \(a \lt \dfrac{7}{4}\)
Xem xét hàm số \(f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{3+x^2}} + \dfrac{x}{8} - \dfrac{5}{8} \) với \(x \leq \dfrac{7}{4}\)
\[ f(x) \leq 0 \rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{3+x^2}} \leq \dfrac{5}{8} - \dfrac{x}{8} \]
Áp dụng ta có:
\[ \frac{1}{\sqrt{3+a^2}} + \frac{1}{\sqrt{3+b^2}} + \frac{1}{\sqrt{3+c^2}} \leq \dfrac{15}{8} - \dfrac{a+b+c}{8} = \dfrac{15}{8} - \dfrac{3}{8} = \dfrac{3}{2} \]
Điều phải chứng minh, dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\).