Bài 15 (Bài T5/569 - Tạp chí Toán học và tuổi trẻ)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 263
Cách giải 1
Ta có:
\[
P = \sum \frac{bc}{a^2(b+c)} - \sum \frac{1}{a^2} \leq \sum \frac{(b+c)^2}{4a^2(b+c)} - \sum \frac{1}{a^2} = \sum \frac{b+c}{4a^2} - \sum \frac{1}{a^2} = \sum \left( \frac{1-a}{4a^2} - \frac{1}{a^2} \right) = \sum \frac{-3-a}{4a^2}
\]
Ta có bất đẳng thức phụ sau:
\[
\frac{-3-a}{4a^2} \leq \frac{171a}{4} - \frac{87}{4}.
\]
Chứng minh:
\[
\frac{-3-a}{4a^2} \leq \frac{171a}{4} - \frac{87}{4} \Leftrightarrow -3-a \leq 171a^3 - 87a^2 \Leftrightarrow 171a^3 - 87a^2 + a - 3 \geq 0 \Leftrightarrow (19a + 3)(3a - 1) \geq 0
\]
Luôn đúng với a dương. Áp dụng bất đẳng thức phụ trên ta có:
\[
\sum \frac{-3-a}{4a^2} \leq \frac{171}{4} \sum a - 3x\frac{87}{4} = -\frac{45}{2}
\]
Vậy giá trị lớn nhất của P là \(-\frac{45}{2}\) khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\).