Bài 175
| 2 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1100
Cho \(a, b \geq 0\). Chứng minh rằng
\[\left(a^{2}+b+\frac{3}{4}\right)\left(b^{2}+a+\frac{3}{4}\right) \geq\left(2 a+\frac{1}{2}\right)\left(2 b+\frac{1}{2}\right)\]
Cách giải 1
Không mấy khó khăn ta có thể dự đoán được bất đẳng thức này trở thành đẳng thức khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Khi đó theo bất đẳng thức AM-GM, ta có
\[a^{2}+\frac{1}{4} \geq a, \quad b^{2}+\frac{1}{4} \geq b\]
Từ hai đánh giá này ta đưa bài toán về chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn sau đây
\[\left(a+b+\frac{1}{2}\right)\left(b+a+\frac{1}{2}\right) \geq\left(2 a+\frac{1}{2}\right)\left(2 b+\frac{1}{2}\right)\]
Hay
\[\left(a+b+\frac{1}{2}\right)^{2} \geq\left(2 a+\frac{1}{2}\right)\left(2 b+\frac{1}{2}\right)\]
Nhưng điều này hiển nhiên đúng vì theo bất đẳng thức AM-GM, ta có
\[\left(2 a+\frac{1}{2}\right)\left(2 b+\frac{1}{2}\right) \leq\left(\frac{2 a+\frac{1}{2}+2 b+\frac{1}{2}}{2}\right)^{2}=\left(a+b+\frac{1}{2}\right)^{2}\]
Bài toán được chứng minh xong.
Cách giải 2
Bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại như sau
\[\left[\left(a^{2}+\frac{1}{2}\right)+\left(b+\frac{1}{4}\right)\right]\left[\left(b^{2}+\frac{1}{2}\right)+\left(a+\frac{1}{4}\right)\right] \geq 4\left(a+\frac{1}{4}\right)\left(b+\frac{1}{4}\right)\]
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
\[\begin{aligned}& \left(a^{2}+\frac{1}{2}\right)+\left(b+\frac{1}{4}\right) \geq 2 \sqrt{\left(a^{2}+\frac{1}{2}\right)\left(b+\frac{1}{4}\right)} \\& \left(b^{2}+\frac{1}{2}\right)+\left(a+\frac{1}{4}\right) \geq 2 \sqrt{\left(b^{2}+\frac{1}{2}\right)\left(a+\frac{1}{4}\right)}\end{aligned}\]
Từ hai đánh giá này ta quy bài toán về chứng minh
\[\left(a^{2}+\frac{1}{2}\right)\left(b^{2}+\frac{1}{2}\right) \geq\left(a+\frac{1}{4}\right)\left(b+\frac{1}{4}\right)\]
Dễ thấy rằng bất đẳng thức này được suy ra từ đánh giá sau đây
\[x^{2}+\frac{1}{2} \geq x+\frac{1}{4}\]
Thế nhưng điều này là hiển nhiên đúng vì nó tưong đương với
\[\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2} \geq 0\]
Bài toán được chứng minh xong.