Bài 179

13-12-2024 | 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1082

Cách giải 1

Khi giải toán bất đẳng thức, lúc nào ta cũng nghĩ đến việc làm sao để sử dụng giả thiết cho hiệu quả, bài này cũng không ngoại lệ.

Quan sát giả thiết của đề bài, các bạn có thấy chỉ có một giả thiết liên quan đến biến \(c\) thôi không? Như vậy, để có thể chứng minh \(a+b-c \leq 4\) thì chắc chắn ta phải sử dụng giả thiết này vào rồi. Lúc này, ta đưa được bài toán về chứng minh

\[a+b-\frac{a b}{6} \leq 4\]

Bây giờ, xem xét tiếp, ta thấy rằng giả thiết cho ta \(3 \geq a \geq b \geq 1\), kết hợp với dự đoán dấu bằng sẽ xảy ra khi \(a=3\), đồng thời ta cần có sự xuất hiện của \(a+b\) và \(a b\) trong các đánh giá của mình (do bất đẳng thức cần chứng minh nó như vậy mà), ta nghĩ đến đánh giá sau đây

\[(3-a)(3-b) \geq 0\]

Từ đánh giá này, ta suy ra \(3(a+b) \leq a b+9\), hay \(a+b \leq 3+\dfrac{a b}{3}\). (Ta thực hiện đánh giá \(a+b\) theo \(a b\) vì giả thiết bài toán thì có liên quan đến \(a b\) nhưng không có chút dính dáng nào tới \(a+b\) cả).

Vậy là, ta chỉ cần chứng minh

\[\left(3+\frac{a b}{3}\right)-\frac{a b}{6} \leq 4\]

Hay

\[a b \leq 6\]

Cái này đúng do giả thiết! Bài toán được chứng minh xong.