Bài 183

13-12-2024 | 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1092

Cách giải 1

Thứ nhất, dự đoán dấu bằng để đạt giá trị lớn nhất. Không khó để ta có thể dự đoán một cách "tự nhiên" là khi \(a=b=1, c=0\) thì biểu thức đạt giá trị lớn nhất.

Thứ hai, "liều" với dự đoán ở trên, ta tìm cách đánh giá cho hiệu quả.

Quan sát thấy biểu thức của ta là tổng đối xứng ba biến và hợn nữa nó có thể viết lại dưới dạng

\[P=f(a)+f(b)+f(c)\]

với \(f(x)=\sqrt{x^{2}-4 x+5}\). Như vậy, một cách tự nhiên, ta mong một đánh giá "riêng lẻ" hay "chia để trị̣" kiểu

\[f(x)=\sqrt{x^{2}-4 x+5} \leq m x+n\]

đúng với \(x \in[0,1]\) với \(m, n\) là các số thực nào đó.

Để khi đó, ta có thể có

\[P=f(a)+f(b)+f(c) \leq m(a+b+c)+3 n=2 n+3 m\]

nói một cách khác, ta đã tìm được một chặn trên của \(P\) mà ta mong đó là giá trị lớn nhất.

Công việc của ta là đi tìm \(m, n\).

Như đã nói ở trên, ta cần đánh giá để đảm bảo dấu bằng, mà vì các biến là đối xứng với nhau nên ta không thể quyết định biến nào bằng 0 hay biến nào bằng 1 khi biểu thức \(P\) đạt giá trị lớn nhất. Bởi vậy, tốt nhất, ta sẽ chọn \(m, n\) sao cho mà dấu bằng tại 0 và 1 đều thỏa. Nói một cách khác, ta cần tìm \(m, n\) sao cho phương trình

\[\sqrt{x^{2}-4 x+5}-(m x+n)=0\]

có hai nghiệm là 0 và 1. Thay \(x=0\) và \(x=1\), ta tìm được \(m=\sqrt{2}-\sqrt{5}\) và \(n=\sqrt{5}\). Như vậy, ta mong là bất đẳng thức sau đúng

\[\sqrt{x^{2}-4 x+5} \leq(\sqrt{2}-\sqrt{5}) x+\sqrt{5}\]

Nhưng kì diệu thay, bất đẳng thức này hoàn toàn đúng với điều kiên \(x \in[0,1]\) (công việc này hết sức đơnn giản, và thực ra ta chỉ cần lý luận thôi cũng đã có thể đảm bảo tính đúng đắn của bất đẳng thức này, xin dành lại cho mọi người).

Như vậy, ta sẽ có

\[P=f(a)+f(b)+f(c) \leq(\sqrt{2}-\sqrt{5})(a+b+c)+3 \sqrt{5}=2 \sqrt{2}+\sqrt{5}\]

Với \(a=b=1, c=0\) ta có ngay GTNN của \(P=2 \sqrt{2}+\sqrt{5}\). Bài toán được chứng minh xong.