Bài 186

14-12-2024 | 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1099

Cách giải 1

Với bất đẳng thức chứa căn, điều đầu tiên ta phải làm đó là tìm cách phá căn. Trong bài toán này, để làm được điều đó, ta liên tưởng ngay tới bất đẳng thức AM-GM dạng \(2 \sqrt{x y} \leq x+y\). Nguyên tắc tiếp theo, khi sử dụng AM-GM, cần phải đảm bảo điều kiện đồng bậc của \(x\) và \(y\), đó là lí do ta không nên đánh giá như sau:

\[2 \sqrt{\left(a b^{3}+b c^{3}+c a^{3}\right)\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)} \leq a b^{3}+b c^{3}+c a^{3}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\]

(Bởi một ông bậc 4 và một ông bậc 0 , chẳng liên quan gì đến nhau cả).

Mặt khác, để ý rằng \(\dfrac{a b^{2}}{c}=\dfrac{a b^{3}}{b c}\). Từ đó, có lời giải sau.

Đây là một bất đẳng thức hoán vị nên không mất tính tổng quát, ta hoàn toàn có thể giả sử \(a\) là số nằm giữa \(a, b, c\).

Sử dụng bất đẳng thức \(\mathrm{AM}-\mathrm{GM}\) dạng \(2 \sqrt{x y} \leq x+y\), ta có

\[2 \sqrt{\left(a b^{3}+b c^{3}+c a^{3}\right)\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)} \leq \frac{a b^{3}+b c^{3}+c a^{3}}{b c}+b c\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\]

Vậy chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được rằng

\[\frac{a b^{3}+b c^{3}+c a^{3}}{b c}+b c\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right) \leq \frac{a b^{2}}{c}+\frac{b c^{2}}{a}+\frac{c a^{2}}{b}+a^{2}+b^{2}+c^{2}\]

Hay

\[\frac{a b^{2}}{c}+c^{2}+\frac{a^{3}}{b}+c a+b^{2}+\frac{b c^{2}}{a} \leq \frac{a b^{2}}{c}+\frac{b c^{2}}{a}+\frac{c a^{2}}{b}+a^{2}+b^{2}+c^{2}\]

Tương đương với

\[\frac{a(a-b)(a-c)}{b} \leq 0\]

Hiển nhiên đúng do giả sử \(a\) là số nằm giữa \(a, b, c\). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c>0\). Bài toán được chứng minh xong.