Bài 188
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1091
Cho 4 số thực \(\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}\) thỏa mãn: \(a b c d>a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\). Chứng minh rằng
\[a b c d>a+b+c+d+8\]
Cách giải 1
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
\[a b c d>a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \geq 4 \sqrt[2]{a b c d} \Leftrightarrow a b c d>16\]
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
\[a b c d>a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \geq \frac{(a+b+c+d)^{2}}{4}\]
Đặt \(k=a+b+c+d\) nên ta cần chứng minh
\[k^{2}-4 k-32>0 \Leftrightarrow(k-8)(k+4)>0\]
Nếu \(a+b+c+d<8\) suy ra \(a+b+c+d+8<16<a b c d\) ta có điều phải chứng minh. Nếu \(a+b+c+d \geq 8\) và cũng suy ra điều phải chứng minh. Bài toán được chứng minh xong.