Bài 191
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1096
Cho \(x, y \neq 0, x y(x+y)=x^{2}+y^{2}-x y\). Tìm giá trị lớn nhất của
\[P=\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}\]
Cách giải 1
Ta có
\[x y(x+y)=x^{2}+y^{2}-x y \Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}-1\]
Đặt \(a=\dfrac{1}{x} ; b=\dfrac{1}{y}\). Điều kiện bài toán trở thành
\[a+b=a^{2}+b^{2}-a b\]
Và ta cần tìm GTLN của
\[P=a^{3}+b^{3}\]
Ta có
\[P=a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3 a b(a+b)=(a+b)\left(a^{2}+b^{2}-a b\right)=(a+b)^{2}\]
Ta có
\[\begin{gathered}a+b=(a+b)^{2}-3 a b \geq(a+b)^{2}-\frac{3(a+b)^{2}}{4}=\frac{(a+b)^{2}}{4} \\\Leftrightarrow 4(a+b) \geq(a+b)^{2} \Leftrightarrow(a+b)(a+b-4) \leq 0 \Rightarrow 0 \leq a+b \leq 4\end{gathered}\]
Suy ra
\[P \leq 16\]
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b\) hay \(x=y=\dfrac{1}{2}\). Bài toán được chứng minh xong.