Bài 195

14-12-2024 | 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1096

Cách giải 1

Ta có \(a c+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=1\).

Đặt \(\tan \frac{A}{2}=a, \tan \frac{B}{2}=\frac{1}{b}, \tan \frac{C}{2}=c\) với \(A, B, C\) là ba góc của một tam giác.

Khi đó ta xét bài toán tổng quát sau với \(x, y, z\) là các số thực bất kì:

\[P=\frac{x}{a^{2}+1}-\frac{y}{b^{2}+1}+\frac{z}{c^{2}+1}=x \cos ^{2} \frac{A}{2}-y \sin ^{2} \frac{B}{2}+z \cos ^{2} \frac{C}{2}\]

Vậy

\[P=\left(\frac{x}{2}-\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\right)+\frac{x}{2} \cos A+\frac{y}{2} \cos B+\frac{z}{2} \cos C\]

Chú ý rằng chúng ta có một bất đẳng thức khá quen thuộc sau với \(m, n, p\) là các số thực:

\[2 m n \cos A+2 n p \cos B+2 p m \cos C \leq m^{2}+n^{2}+p^{2}\]

Khi đó để giải những bài như thế này ta định \(m, n, p\) sao cho

\[2 m n=\frac{x}{2}, 2 n p=\frac{y}{2}, 2 p m=\frac{z}{2}\]

Vậy điều kiện của \(x, y, z\) là \(x y z\) phải dương. Khi đó ta có

\[P \leq \frac{x}{2}-\frac{y}{2}+\frac{z}{2}+m^{2}+n^{2}+p^{2}\]

Ví dụ như bài ở trên ta có

\[m n=\frac{x}{4}=\frac{1}{2}, n p=\frac{y}{4}=\frac{1}{2}, p m=\frac{3}{4}\]

Khi đó ta có: \(m=\frac{\sqrt{3}}{2}, n=\frac{\sqrt{3}}{3}, p=\frac{\sqrt{3}}{2}\).Lúc này

\[P \leq \frac{x}{2}-\frac{y}{2}+\frac{z}{2}+m^{2}+n^{2}+p^{2}=\frac{10}{3}\]

Đẳng thức xảy ra khi. Bài toán được chứng minh xong.\\