Bài 196

14-12-2024 | 3 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1088

Cách giải 1

Đặt

\[f(x, y, z)=\frac{x}{2 x+3 y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{x+z}\]

Ta có

\[f(x, y, \sqrt{x y})=\frac{x}{2 x+3 y}+\frac{2 \sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\]

Xét hiệu

\[f(x, y, z)-f(x, y, \sqrt{x y})=\frac{(\sqrt{x y}-z)^{2}(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{(x+z)(y+z)(\sqrt{x}+\sqrt{y})} \geq 0\]

Hiển nhiên đúng. Suy ra

\[P=f(x, y, z) \geq \frac{x}{2 x+3 y}+\frac{2 \sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{\frac{x}{y}}{2 \frac{x}{y}+3}+\frac{2}{\sqrt{\frac{x}{y}}+1}\]

Tới đây đặt \(t=\sqrt{\dfrac{x}{y}}\) với \(1 \leq t \leq 2\). Khi đó

\[P \geq \frac{t^{2}}{2 t^{2}+3}+\frac{2}{1+t}\]

Khảo sát hàm số \(f(t)=\dfrac{t^{2}}{2 t^{2}+3}+\dfrac{2}{1+t}\) trên đoạn \([1,2]\) ta có \(f(t) \geq \dfrac{34}{33}\) dấu bằng xảy ra khi \(t=2 \Leftrightarrow x=4 y\). Hay \(x=4, y=1, z=2\). Bài toán được chứng minh xong.

Cách giải 2

Ta có bổ đề sau: \(\dfrac{1}{1+a^{2}}+\dfrac{1}{1+b^{2}} \geq \dfrac{1}{1+a b}\) với \(a b \geq 1\). Thật vậy, trừ vế theo vế, ta có ngay:

\[(a-b)^{2} \frac{(a b-1)}{\left(1+a^{2}\right)\left(1+b^{2}\right)(1+a b)} \geq 0\]

Hiển nhiên đúng. Vi \(\dfrac{x}{y} \geq 1\), khi đó ta có:

\[P=\frac{x}{2 x+3 y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{x+z}=\frac{\frac{x}{y}}{2 \frac{x}{y}+3}+\frac{1}{1+\frac{z}{y}}+\frac{1}{1+\frac{x}{z}} \geq \frac{\frac{x}{y}}{2 \frac{x}{y}+3}+\frac{2}{1+\sqrt{\frac{x}{y}}}\]

Ta đưa được về dạng như trên. Bài toán được chứng minh xong.

Cách giải 3

Đặt \(\dfrac{y}{x}=a ; \dfrac{z}{y}=b ; \dfrac{x}{z}=c\). Khi đó \(a b c=1\) và \(2 \geq \sqrt{b c} \geq 1\). Ta có

\[P=\frac{1}{2+3 a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\]

Xét bài toán mới này có các biến \(b\) và \(c\) bình đẳng nên ta dự đoán đẳng thức xảy ra khi \(b=c=\dfrac{1}{\sqrt{a}}\).

Khi đó \(P=\dfrac{1}{2+3 a}+\dfrac{2 \sqrt{a}}{1+\sqrt{a}}:=f(a)\) với \(a \in\left[\dfrac{1}{4} ; 1\right]\).

So sánh \(f\left(\dfrac{1}{4}\right)\) với \(f(1)\) ta dự đoán được \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(a=\dfrac{1}{4}\).

Khi đó \(b=c=2\) và ta tìm được các giá trị của \((x, y, z)\) tương ứng là \((4,1,2)\). Bài toán được chứng minh xong.