Bài 199
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1094
Cho \(a, b, c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c=1\). Chứng minh rằng
\[\sqrt{a^{2}+\frac{1}{a^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{c^{2}}} \geq \sqrt{82}\]
Cách giải 1
Phương pháp khảo sát hàm đặc trưng, rất hữu hiệu cho những bài BĐT đối xứng. Bài toán
Cho \(f(x)+f(y)+f(z) \geq A\).
Tìm Min, Max của \(S=g(x)+g(y)+g(z)\).
Nháp:
Điều kiện \(x, y, z \in D\), dự đoán dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\alpha\). Khảo sát hàm đặc trưng \(h(t)=g(t)-m f(t)\). Với \(m=\frac{g^{\prime}(\alpha)}{f^{\prime}(\alpha)}\). Sau khi đã tìm được \(m\) chỉ cần xét đạo hàm \(h(t)\) nữa là xong.
Ta khảo sát hàm
\[f(x)=\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}-m x\]
Để hàm số có cực tiểu thì \(f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow \frac{x^{4}-1}{x^{3} \sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}}-m=0\). Nhận thấy " \(=\) " ở \(x=\frac{1}{3}\) nên \(m=-\frac{80}{\sqrt{82}}\). Xét hàm số đại diện \(f(t)=\sqrt{t^{2}+\frac{1}{t^{2}}}+\frac{80}{\sqrt{82}} t\) trên \((0,1)\) có \(f(t) \geq f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{162}{3 \sqrt{82}}\). Vậy thì \(P \geq-\frac{80}{\sqrt{82}}(x+y+z)+\frac{162}{\sqrt{82}}=\sqrt{82}\).
Bài toán được chứng minh xong.