Bài 2 (HSG lớp 10 – KHTN)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 1 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 262
Cách giải 1
Ta thay giả thiết bài toán vào BĐT, ta cần chứng minh:
\[
\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{b^2 + c^2} + \sqrt{c^2 + a^2} + 3\sqrt{6} \leq 2\sqrt{2}(a + b + c).
\]
Áp dụng kết quả bài toán mở đầu, ta có:
\[
\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2} + \sqrt{ab}} \leq a + b
\]
nên
\[
\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{2ab} \leq \sqrt{2}(a + b).
\]
Tương tự cho hai số hạng còn lại, cộng theo vế ta được:
\[
\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{b^2 + c^2} + \sqrt{c^2 + a^2} + \sqrt{2}(\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}) \leq \sqrt{2}(a + b + c).
\]
Bài toán sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được rằng:
\[
3\sqrt{6} \leq \sqrt{2}(\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}).
\]
\[
\Leftrightarrow \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} \geq 3\sqrt{3}.
\]
Thật vậy, theo BĐT Cauchy ta có:
\[
\begin{cases}
abc = a + b + c \geq 3\sqrt[3]{abc} \\
(\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca})^2 \geq (3\sqrt[3]{abc})^2
\end{cases}
\]
\[
\Rightarrow (\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca})^2 \geq 27.
\]
Bài toán được giải quyết.