Bài 21 (Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 564 tháng 06/2024)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 2 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 90
Cách giải 1
Vận dụng bất đẳng thức phụ:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y},
\]
với \(x, y > 0\) ta có:
\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b}, \quad \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{4}{b + c}, \quad \frac{1}{c} + \frac{1}{a} \geq \frac{4}{c + a}.
\]
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có:
\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 2\left( \frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} \right).
\]
Điều phải chứng minh.