Bài 23 (Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 564 tháng 06/2024)

| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 2 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 96

Cho \(a, b, c > 0\). Chứng minh rằng: \[ \frac{1}{a + b + c} + \frac{1}{b + c + a} + \frac{1}{c + a + b} \geq 2 \left( \frac{1}{2a + b + c} + \frac{1}{a + 2b + c} + \frac{1}{a + b + 2c} \right). \]

Cách giải 1
Vận dụng bất đẳng thức (*) ta có: \[ \frac{1}{a + b + c} + \frac{1}{b + c + a} + \frac{1}{c + a + b} \geq \frac{4}{a + b + c}. \] Cộng vế theo các bất đẳng thức trên, ta được: \[ \frac{1}{a + b + c} + \frac{1}{b + c + a} + \frac{1}{c + a + b} \geq 2 \left( \frac{1}{2a + b + c} + \frac{1}{a + 2b + c} + \frac{1}{a + b + 2c} \right). \] Điều phải chứng minh