Bài 25 (Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 564 tháng 06/2024)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 104
Cách giải 1
Ta có:
\[
A = \frac{a + c}{a + b} + \frac{b + d}{b + c} + \frac{c + a}{c + d} + \frac{d + b}{d + a} = (\frac{a + c}{a + b} + \frac{c + a}{c + d}) + (\frac{b + d}{b + c} + \frac{d + b}{d + a})
\]
\[
A = (a+c)(\frac{1}{a + b} + \frac{1}{c + d}) + (b+d)(\frac{1}{b + c} + \frac{1}{d + a})
\]
Vì \(a, b, c , d > 0\), nên \(a + b >0, c+ d> 0\), áp dụng BĐT (*) ta có:
\[
\frac{1}{a + b} + \frac{1}{c + d} \geq \frac{4}{a + b +c + d}
\]
Tương tự ta có:
\[
\frac{1}{b + c} + \frac{1}{d + a} \geq \frac{4}{a + b +c + d}
\]
Vậy ta có:
\[
A = (a+c)(\frac{1}{a + b} + \frac{1}{c + d}) + (b+d)(\frac{1}{b + c} + \frac{1}{d + a}) \geq \frac{4(a+c)}{a+b+c+d} + \frac{4(b+d)}{a+b+c+d} = 4
\]
Điều phải chứng minh, dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\).