Bài 27 (Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 564 tháng 06/2024)

| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 91

Chứng minh rằng với \(a, b > 0\), thỏa mãn \(a + b = 1\) thì: \[ \frac{1}{ab} + \frac{1}{a^2 + b^2} \geq 6. \]

Cách giải 1
\[ \frac{1}{ab} + \frac{1}{a^2 + b^2} = \frac{1}{2ab} + (\frac{1}{2ab} + \frac{1}{a^2 + b^2}). \] Rồi sử dụng các bất đẳng thức phụ \((x+y)^2 \geq 4xy\) và \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}\), ta được: \[ \frac{1}{2ab} + (\frac{1}{2ab} + \frac{1}{a^2 + b^2}) \geq \frac{2}{(a+b)^2} + \frac{4}{(a+b)^2} = 2 + 4 = 6 \] Điều phải chứng minh, dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\).