Bài 29 (Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 564 tháng 06/2024)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 103
Cách giải 1
Với \(a, b, c > 0\), ta có:
\[
2a + b > 0, 2b + c > 0, 2c + a > 0.
\]
Ta có bất đẳng thức
\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a+b+c}. \tag{1}
\]
Áp dụng bất đẳng thức (1) ta được:
\[
\frac{1}{2a+b} + \frac{1}{2b+c} + \frac{1}{2c+a} \geq \frac{9}{2a+b +2b+c+2c+a} = \frac{3}{a+b+c}.
\]
Điều phải chứng minh, dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\).