Bài 34 (Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 564 tháng 06/2024)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 262
Cách giải 1
Vì \(a, b, c > 0\), nên:
\[
a + b > 0, b + c > 0, c + a > 0.
\]
Ta có bất đẳng thức
\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a+b+c}. \tag{1}
\]
Theo bất đẳng thức phụ (1) ta có:
\[
\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a)} \geq \frac{9}{a+b+b+c+c+a} = \frac{9}{2(a+b+c)}
\]
\[
\Rightarrow (a+b+c)(\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a)}) \geq \frac{9}{2}
\]
\[
\Rightarrow \frac{a+b+c}{a+b} + \frac{a+b+c}{b+c} + \frac{a+b+c}{c+a} \geq \frac{9}{2}
\]
\[
\Rightarrow 1+\frac{c}{a+b} + 1+ \frac{a}{b+c} + 1+ \frac{b}{c+a} \geq \frac{9}{2}
\]
\[
\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}.
\]
Điều phải chứng minh, dấu = xảy ra khi \(a=b=c\).