Bài 35 (Trích đề thi HSG cấp tỉnh lớp 9 tỉnh Nghệ An năm học 2010 - 2011)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 102
Cách giải 1
Áp dụng bất đẳng thức:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y}
\]
với \(x, y > 0\), ta có:
\[
\frac{1}{2x + y + z} \leq \frac{1}{4}(\frac{1}{2x} + \frac{1}{y + z}) \leq \frac{1}{4}(\frac{1}{2x} + \frac{1}{4y} + \frac{1}{4z}).
\]
Tương tự ta có:
\[
\frac{1}{2y + z + x} \leq \frac{1}{4}(\frac{1}{2y} + \frac{1}{4z} + \frac{1}{4x}).
\]
và
\[
\frac{1}{2z + x + y} \leq \frac{1}{4}(\frac{1}{2z} + \frac{1}{4x} + \frac{1}{4y}).
\]
Cộng các bất đẳng thức theo vế ta có:
\[
\frac{1}{2x+y+z} + \frac{1}{2y+z+x} + \frac{1}{2z+x+y} \leq \frac{1}{4}(\frac{1}{2x} + \frac{1}{4y} + \frac{1}{4z}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{2y} + \frac{1}{4z} + \frac{1}{4x}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{2z} + \frac{1}{4x} + \frac{1}{4y})=\frac{1}{4}(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z})=1.
\]
Điều phải chứng minh, dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\frac{3}{4}\).