Bài 351 (Bài 7 - Số 259 tạp chí Toán tuổi thơ 12/2024)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 4 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1084
Bài \(7(259)\). Cho các số thực \(x, y, z\) thỏa mãn \(x y+y z+z x=x y z\). Chứng minh rằng
\[(x+y+z+1)^2+8 \geq 4 x y z\]
Cách giải 1
Nếu \(x y z=0\) thì bất đẳng thức luôn đúng.
Xét \(x y z \neq 0\) thì giả thiết đã cho được viết lại thành \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\).
Đặt \(a=\frac{1}{x}, b=\frac{1}{y}, c=\frac{1}{z}\) thì \(a+b+c=1\).
Ta chứng minh \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+1\right)^2+8 \geq \frac{4}{a b c}\)
Bất đẳng thức trên tương đương với
\[\begin{aligned}& (a b+b c+c a+a b c)^2+8 a^2 b^2 c^2 \geq 4 a b c \\& \Leftrightarrow(a b+b c+c a)^2+2 a b c(a b+b c+c a) \\& +9 a^2 b^2 c^2 \geq 4 a b c \\& \Leftrightarrow a^2 b^2+b^2 c^2+c^2 a^2+2 a b c(a+b+c) \\& +a b c\left(1-a^2-b^2-c^2\right)+9 a^2 b^2 c^2 \geq 4 a b c \\& \Leftrightarrow 8 a^2 b^2 c^2 \geq a b c-a^2 b^2 c^2+a b c\left(a^2+b^2+c^2\right) \\& -a^2 b^2-b^2 c^2-c^2 a^2 \\& \Leftrightarrow 8 a^2 b^2 c^2 \geq(a-b c)(b-c a)(c-a b) .(1)\end{aligned}\]
Ta thấy trong ba số \(a-b c, b-c a, c-a b c o ́\) nhiều nhất một số âm. Vî ngược lại giả sử \(a-b c<0, b-c a<0\) thì \(a-b c+b-c a<0\)
hay \((a+b)(1-c)<0 \Leftrightarrow(a+b)^2<0\), vô lí.
Vì vậy để chứng minh (1) chỉ cần xét trường hợp cả ba số \(a-b c, b-c a, c-a b\) đều không âm. Khi đó ta sẽ chứng minh
\[4 a^2 b^2 \geq(a-b c)(b-c a) \text {. (2) }\]
Thật vậy, bất đẳng thức (2) tương đương với
\[\begin{aligned}& 4 a^2 b^2 \geq a b-c\left(a^2+b^2\right)+a b c^2 \\& \Leftrightarrow 4 a^2 b^2 \geq a b-c\left(a^2+b^2\right)+a b(1-a-b)^2 \\& \Leftrightarrow 4 a^2 b^2 \geq-c\left(a^2+b^2\right)+2 a b(1-a-b) \\& +a b\left(a^2+b^2\right)+2 a^2 b^2\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}& \Leftrightarrow 2 a^2 b^2+c\left(a^2+b^2\right)-2 a b c-a b\left(a^2+b^2\right) \geq 0 \\& \Leftrightarrow(a-b)^2(c-a b) \geq 0, \text { luôn đúng. }\end{aligned}\]
Tương tự, ta có \(4 b^2 c^2 \geq(b-c a)(c-a b)\). (3)
\[4 c^2 a^2 \geq(c-a b)(a-b c) .(4)\]
Nhân theo vế (2), (3), (4) ta suy ra (1) đúng. Từ đó ta có điều phải chứng minh
Dấu đả̉ng thức xảy ra khi \(\mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c}=\frac{1}{3}\), suy ra \(x=y=z=3\).