Bài 37 (Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 564 tháng 06/2024)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 93
Cách giải 1
Vì \(a, b, c, d > 0\) suy ra:
\[
a + c > 0; \quad b + d > 0; \quad a + b + c + d > 0.
\]
Ta có bất đẳng thức
\[
\frac{1}{xy} \geq \frac{4}{(x + y)^2} \tag{*}
\]
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có:
\[
\frac{a + c}{(a + b)(c + d)} \geq \frac{4(a+c)}{(a + b + c + d)^2},
\]
\[
\frac{b + d}{(a + d)(b + c)} \geq \frac{4(b+d)}{(a + b + c + d)^2}.
\]
Cộng vế các bất đẳng thức trên, ta được:
\[
\frac{a + c}{(a + b)(c + d)} + \frac{b + d}{(a + d)(b + c)} \geq \frac{4(a + c + b + d)}{(a + b + c + d)^2} = \frac{4}{a+b+c+d}.
\]
Điều phải chứng minh, dấu = xảy ra khi \(a=b=c=d\).