Bài 38 (Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 564 tháng 06/2024)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 90
Cách giải 1
Vì \(a, b, c, d > 0\) nên ta có \(a+b >0, a+ c> 0, c+d >0, b+d>0\)
Ta có bất đẳng thức
\[
\frac{1}{xy} \geq \frac{4}{(x + y)^2} \tag{**}
\]
Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có:
\[
\frac{3}{a + b} + \frac{2}{c + d} = \frac{3(c+d) + 2(a+b)}{(a+b)(c+d)} = \frac{3c + 3d + 2a + 2b}{(a+b)(c+d)} \geq \frac{4(3c + 3d + 2a + 2b)}{(a + b + c + d)^2}.
\]
Mà ta có:
\[
\frac{a+b}{(a+c)(b+d)} \geq \frac{4(a+b)}{(a + b + c + d)^2}
\]
Do đó ta có:
\[
\frac{3}{a + b} + \frac{2}{c + d} + \frac{a+b}{(a+c)(b+d)} \geq \frac{4(3c + 3d + 2a + 2b)}{(a + b + c + d)^2} + \frac{4(a+b)}{(a + b + c + d)^2} = \frac{12}{a + b + c + d}.
\]
Điều phải chứng minh