Bài 40 (Konstantinos Geronikolas, 22-11-2024)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 4 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 99
Cách giải 1
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
\[
\frac{a^4}{a^2+bc} + \frac{b^4}{b^2+ca} + \frac{c^4}{c^2+ab} \geq \frac{3}{2}
\]
\[
\iff \frac{a^4}{a^2+1/a} + \frac{b^4}{b^2+1/b} + \frac{c^4}{c^2+1/c} \geq \frac{3}{2}
\]
\[
\iff \frac{a^5}{a^3+1} + \frac{b^5}{b^3+1} + \frac{c^5}{c^3+1} \geq \frac{3}{2}.
\]
Ta sẽ đi chứng minh bất đẳng thức phụ:
\[
\frac{x^5}{x^3+1} \geq \frac{7}{4}x-\frac{5}{4}
\]
\[
\iff 4x^5 - (x^3+1)(7x-5) \geq 0
\]
\[
\iff (x-1)^2(4x^3+x^2+3x+5) \geq 0
\]
Đúng với mọi \(x > 0\), dấu = xảy ra khi \(x=1\). Áp dụng bất đẳng phụ ta có:
\[
\frac{a^5}{a^3+1} \geq \frac{7}{4}a-\frac{5}{4}
\]
\[
\frac{b^5}{b^3+1} \geq \frac{7}{4}b-\frac{5}{4}
\]
\[
\frac{c^5}{c^3+1} \geq \frac{7}{4}c-\frac{5}{4}
\]
Cộng các bất đẳng thức lại theo vế ta có:
\[
\frac{a^5}{a^3+1} + \frac{b^5}{b^3+1} + \frac{c^5}{c^3+1} \geq \frac{7}{4}(a+b+c) - \frac{15}{4}
\]
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
\[
\iff \frac{a^5}{a^3+1} + \frac{b^5}{b^3+1} + \frac{c^5}{c^3+1} \geq \frac{21}{4}\sqrt[3]{abc} - \frac{15}{4} = \frac{21}{4} - \frac{15}{4} = \frac{3}{2}.
\]
Điều phải chứng minh, dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\).