Bài 46
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 105
Cách giải 1
Đặt \(a^2 + b^2 + c^2 = 3 + 6t^2\) với \(t \in [0; 1]\) thì \(ab + bc + ca = 3 - 3t^2\). Theo bổ đề chặn tích ta có:
\[
abc \geq (1 + t)^2(1 - 2t).
\]
Do đó, bất đẳng thức cần chứng minh đúng khi ta chứng minh được:
\[
3(1 + t^2)(1 - 2t) + 12 \geq 5(3 - 3t^2).
\]
Thật vậy, bất đẳng thức này tương đương:
\[
2t^3 - 2t^2 \leq 0 \Leftrightarrow t^2(t - 1) \leq 0.
\]
Đúng do \(t \in [0; 1]\). Vậy ta có điều phải chứng minh, dấu "=" xảy ra khi \(t = 0\) hay \(a = b = c = 1\).
Tham khảo: Bổ đề chặn tích trong chứng minh bất đẳng thức