Bài 863 (Đề thi vào 10 PTTH Chuyên toán Bắc Giang 2023 - 2024)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 2 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1092
Cho \(x, y, z\) là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện \(x+y+z=x y z\).
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\[P=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+z^2}} \]
Cách giải 1
Từ giả thiết \(x+y+z=x y z\), ta có:
\[\dfrac{1}{x y}+\dfrac{1}{y z}+\dfrac{1}{x z}=1 \]
Đặt \(a=\dfrac{1}{x} ; b=\dfrac{1}{y} ; c=\dfrac{1}{z} \Rightarrow a, b, c>0\). Giả thiết trở thành: \(a b+b c+c a=1\);
\[P=\dfrac{a}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{1+c^2}}\]
Để ý rằng:
\[\begin{aligned}& a^2+1=a^2+a b+b c+c a=(a+b)(a+c) \\& b^2+1=b^2+a b+b c+c a=(b+a)(b+c) \\& c^2+1=c^2+a b+b c+c a=(c+a)(c+b)\end{aligned}\]
Lúc này ta có:
\[\begin{aligned}P & =\dfrac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\dfrac{b}{\sqrt{(b+a)(b+c)}}+\dfrac{c}{\sqrt{(c+a)(c+b)}} \\& =\sqrt{\dfrac{a}{a+b}} \cdot \sqrt{\dfrac{a}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{b+a}} \cdot \sqrt{\dfrac{b}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{c+a}} \cdot \sqrt{\dfrac{c}{c+b}}\end{aligned}\]
Theo bất đẳng thức AM - GM, ta có:
\[ \leq \dfrac{1}{2}(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+a}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{c}{c+b}) =\dfrac{3}{2}\]
Giá trị lớn nhất \(P=\dfrac{3}{2}\) xảy ra khi và chi khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) hay \(x=y=z=\sqrt{3}\). Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) là \(\dfrac{3}{2}\) đạt được khi và chi khi \(x=y=z=\sqrt{3}\).