Bài 69 (Đề chọn đội tuyển HSG Ba Đình vòng 2 2024 - 2025)

| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 2 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 106

Câu 1. (1) Giải phương trình \[ x^2-3 x+10=4 \sqrt{x+2} \] (2) Cho các số thực \(x, y\) thoả mãn \[ x^3-3 x^2+6 y=11 \quad \text { và } \quad y^3-3 y^2+6 x=-3 \text {. } \] Tính giá trị của biểu thức \(S=x+y\).

Cách giải 1
1) Giải phương trình: \[ x^2 - 3x + 10 = 4\sqrt{x} + 2 \tag{*} \] Điều kiện: \[ x + 2 \geq 0 \leftrightarrow x \geq -2 \] Biến đổi phương trình (*) ta có \[ x^2 - 3x + 10 = 4\sqrt{x + 2} \leftrightarrow x^2 - 4x + 4 = 4\sqrt{x + 2} - x - 6 \leftrightarrow (x-2)^2 = - (\sqrt{x + 2} - 2)^2 \] Do \[ (x-2)^2 \geq 0 \] và \[ - (\sqrt{x + 2} - 2)^2 \leq 0 \] Nên phương trình đã cho tương đương \[ (x-2)^2 = 0 \] và \[ - (\sqrt{x + 2} - 2)^2 = 0 \] Giải ra ta được \(x = 2\) là nghiệm thỏa mãn điều kiện đề bài.