Bài 74 (Chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh Khánh Hòa 2024 - 2025)

| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 2 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 96

1) Rút gọn biểu thức \[ A=\frac{x^4-(x-1)^2}{\left(x^2+1\right)^2-x^2}+\frac{x^2-\left(x^2-1\right)^2}{x^2(x+1)^2-1}+\frac{x^2(x-1)^2-1}{x^4-(x+1)^2} \] 2) Cho \[ f(x)=\frac{2 \cdot 1+1}{\left(1^2+1\right)^2}+\frac{2 \cdot 2+1}{\left(2^2+2\right)^2}+\ldots+\frac{2 x+1}{\left(x^2+x\right)^2} \] với \(x \in \mathbb{N}^*\). Tìm \(x\) để \[ f(x)=\frac{2024}{2025} \]

Cách giải 1
1) Ta có: \[ A=\frac{x^4-(x-1)^2}{\left(x^2+1\right)^2-x^2}+\frac{x^2-\left(x^2-1\right)^2}{x^2(x+1)^2-1}+\frac{x^2(x-1)^2-1}{x^4-(x+1)^2} \] \[ =\frac{(x^2-x+1)(x^2+x-1)}{(x^2-x+1)(x^2+x+1)}+\frac{(x-x^2+1)(x+x^2-1)}{(x^2+x-1)(x^2+x+1)}+\frac{(x^2-x-1)(x^2-x+1)}{(x^2-x-1)(x^2+x+1)} \] \[ =\frac{x^2+x-1}{x^2+x+1}+\frac{x-x^2+1}{x^2+x+1}+\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1} = \frac{x^2+x+1}{x^2+x+1} = 1 \] 2) Ta có: \[ \frac{2 x+1}{(x^2+x)^2} = \frac{2 x+1}{x^2(x+1)^2} = \frac{(x+1)^2-x^2}{x^2(x+1)^2} = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{(x+1)^2} \] Vậy ta có: \[ f(x) = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{(x+1)^2} = 1 - \frac{1}{(x+1)^2} \] Bài toán trở thành, tìm \(x \in \mathbb{N}^*\) để cho \[ f(x) = 1 - \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{2024}{2025} \leftrightarrow (x^2+2x)2025 = 2024(x^2+2x+1) \leftrightarrow x^2+2x-2024 = 0 \] Giải ra ta được \(x=44\) hoặc \(x=-46\) (loại). Vậy \(x=44\) thỏa mãn điều kiện đề bài.