Bài 77 (Chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh Khánh Hòa 2024 - 2025)

| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 2 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 103

1) Cho tam giác \(A B C\) nhọn có các đường cao \(A D ; B E\) và \(C F\) cắt nhau tại \(H\) ( \(D \in B C ; E \in A C ; F \in A B\) ). Qua \(B\) kẻ đường thẳng song song với \(C F\) cắt tia \(A D\) tại \(K\).
a) Chứng minh \(\triangle A E F \backsim \triangle A B C\).
b ) Gọi \(I\) là trung điểm \(B C\), tia \(H I\) cắt \(B K\) tại \(N\). Chứng minh \(A N\) vuông góc \(E F\).
2) Cho góc nhọn \(\alpha\) biết \(\tan \alpha=2\). Tính giá trị biểu thức \[ M=\frac{\sin ^3 \alpha+\cos ^3 \alpha-\sin \alpha \cdot \cos ^2 \alpha}{4 \cdot \cos ^3 \alpha-3 \cdot \sin ^3 \alpha+8 \cdot \sin ^2 \alpha \cdot \cos \alpha} \]

Cách giải 1
2) Ta chia biểu thức cả tử và mẫu cho \(\cos ^3 \alpha\) ta được \[ M=\frac{\sin ^3 \alpha+\cos ^3 \alpha-\sin \alpha \cdot \cos ^2 \alpha}{4 \cdot \cos ^3 \alpha-3 \cdot \sin ^3 \alpha+8 \cdot \sin ^2 \alpha \cdot \cos \alpha}= \frac{\tan^3 \alpha + 1 - \tan \alpha}{4 - 3 \tan \alpha + 8 \tan^2 \alpha} = \frac {8+1-2}{4-6+32} = \frac{7}{30} \]