Bài 228 (Đề thi HSG toán 9 Thanh Hóa 2024 - 2025)

14-12-2024 | 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1093

Cách giải 1

Theo đề bài \(p-1 \vdots n\) nên đặt \(p-1=nk \rightarrow p = nk + 1\) với k nguyên dương. Do p là số nguyên tố nên p lẻ (do \(n \geq 2\)) và \(n \lt q\). 

Ta có: \(n^6-1=(n-1)(n+1)(n^2+n+1)(n^2-n+1) \vdots p\)

Do \(n \lt p \rightarrow 0 \lt n-1 \lt p\) vậy \(n - 1\) không chia hết cho p. Ta xét các khả năng sau:

+) Trường hợp 1:  \((n+1) \vdots p\) Ta có \(n+1 \geq p = nk + 1\) do đó \(k=1\) vậy \(p=n+1\) nên \(p-n = 1\) là số chính phương.

+) Trường hợp 2: \((n^2+n+1) \vdots p\) Ta có \((n^2+n+1) \vdots nk+1\), khi đó \(k(n^2+n+1) - n(nk+1) = [(k-1)n+k] \vdots (nk+1)\). Suy ra:

\[n k+1-(k-1) n+k=[(n+1)-k] \vdots (n k+1)\]

1. Nếu \((n+1)-k \lt 0 \rightarrow (n+1)-k \geq nk + 1 \rightarrow n \geq nk+k \gt n\) Vô lý
2. Nếu \((n+1)-k=0 \rightarrow k=n+1 \rightarrow p+n = (n+1)n + 1 + n = (n+1)^2\) là số chính phương.
3. Nếu \((n+1)-k \lt 0 \rightarrow [k - (n+1)] \vdots (nk+1) \rightarrow k-(n+1) \geq nk+1 \rightarrow k \geq (n+1) +nk + 1 \lt k\). Vô lý.

+) Trường hợp 3: \((n^2-n+1) \vdots p \rightarrow (n^2-n+1) \vdots (nk+1) \rightarrow n(nk+1) - k(n^2-n+1) = [nk+1+(n-k-1)] \vdots (nk+1)\). Khi đó ta có: \((n-k-1) \vdots (nk+1) \)

1.  Nếu \(n-k-1=0 \rightarrow n = k+ 1 \rightarrow p - n = n(n-1) + 1 - n = (n-1)^2\) là số chính phương.
2.  Nếu \(n-k-1 \gt 0 \rightarrow n \gt k+1 \rightarrow n-k-1 \geq nk+1 \rightarrow n \geq nk+k + 2\). Vô lý
3. Nếu \(n-k-1 \lt 0 \rightarrow (k+1-n) \vdots (nk+1) \rightarrow k+1-n \geq nk+1 \rightarrow k \geq n(k+1) \gt k\). Vô lý

Vậy trong mọi trường hợp ta đều có : \(p-n\) hoặc \(p+n\) là số chính phương.