Bài 75 (Chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh Khánh Hòa 2024 - 2025)

| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 2 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 104

1) Cho \(a, b, c\) là các số nguyên khác 0 thỏa mãn \[ \frac{1}{a}-\frac{1}{2 b}=\frac{1}{3 c} \] Chứng minh \(a^2+4 b^2+9 c^2\) là số chính phương.
2) Cho ba số không âm \(a, b, c\) thỏa mãn \(a+b+c=2\). Chứng minh \(a+b \geq 4 a b c\).

Cách giải 1
1) Ta có: \[ \frac{1}{a}-\frac{1}{2 b}=\frac{1}{3 c} \leftrightarrow 3c(2b-a) = 2ab \leftrightarrow 4ab - 12bc + 6ca = 0 \] Do đó: \[ a^2+4 b^2+9 c^2 = a^2+4 b^2+9 c^2 + 4ab - 12bc + 6ca = (a-2b-3c)^2 \] Vậy \(4ab - 12bc + 6ca\) là số chính phương, điều phải chứng minh.
2) Ta có: \[ a+b+c=2 \leftrightarrow 4 = (a+b+c)^2 \geq 4(a+b)c \leftrightarrow 1 \geq (a+b)c \leftrightarrow a+b \geq (a+b)^2c \leftrightarrow a+b \geq 4abc \] Điều phải chứng minh