Bài 1 (5 điểm)
1) Rút gọn biểu thức \[ P=\left(\frac{x \sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}-\frac{x-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\right) : \frac{2 x-4 \sqrt{x}+2}{x-1} \] với \(x>0, x \neq 1\)
2) Giải phương trình: \[ \sqrt{x+1}-\sqrt{3 x}-2 x-1 \] 3) Giải hệ phương trinh: \[ \left\{\begin{array}{l}x^3+y^3+x y=2 x+4 y-1 \\ x y+x+2 y=1\end{array}\right. \]

Bài 2 (5 điểm)
1) Đa thức \(f(x)\) khi chia cho \((x+1)\) thì dư 4, khi chia cho \((x+2)\) thì dư 1, còn khi chia cho \((x+1)(x+2)\) thì được thương là \(5 x^2\) và còn dư. Hỏi khi chia đa thức \(f(x)\) cho \(x-1\) thì dư bao nhiêu?
2) Cho phương trình \((m+1) x^3+(3 m-1) x^2-x-4 m+1=0\) với ( \(m\) là tham số). Tìm giá trị của \(m\) để phương trình có ba nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm âm.
3) Xét hai số thực dương thay đổi \(a, b\) sao cho \(a+b \geq 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\sqrt{9+a^2 b^2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\).

Bài 3 (5 điểm)
Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O; R) vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O). Vẽ đường kính BD của (O), AD cắt đường tròn tại điềm thứ hai là M, BC cắt AO tại H .
a) Chứng minh tứ giác OHMD nội tiếp.
b) Tiếp tuyến của (O) tại D cắt tia BC tại E , gọi N là trung điểm của MD . Chứng minh ba điểm ENO thẳng hàng.
c) Tiếp tuyến của (O) tại M cắt AB, AC lần lượt tại P và Q . Đường tròn (I) nội tiếp tam giác APQ tiếp xúc với AQ, PQ lần lượt tại D' và E'. Chứng minh rằng ba đường thẳng D'E', CM, AO đồng quy.

Bài 4 (3 điểm)
a) Tìm các cặp nghiệm nguyên \((x, y)\) thỏa mãn \(x^2(y-1)+y^2(x-1)=1\)
b) Cho \(a, b, c\) là các số nguyên dương lẻ sao cho \(a\) không là số chính phương và \(a^2+a+1=3\left(b^2+b+1\right)\left(c^2+c+1\right)\). Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai số \(b^2+b+1\) và \(c^2+c+1\) là hợp số.

Bài 5 (2 điểm)
1) Một palindrome là một dãy hữu hạn các ký tự mà đọc xuôi vá đọc ngược đều như nhau, ví đụ nhu số 1234321 là một palindrome. Hỏi có bao nhiêu palindrome có 7 chữ số hoặc 8 chữ số, biết rằng trong số đó không có chữ số nào xuất hiện nhiều hơn 2 lần.
2) Trên màn hình có 15 viên bi màu xanh, 17 viên bi màu đỏ và 22 viên bi màu vàng. Một học sinh điều khiển các viên bi theo quy luật trò chơi sau đây: Cho hai viên bi khác màu chạm nhau thì cả hai đổi sang cùng màu thứ ba (chi trong ba màu ở trên: (xanh - đỏ - vàng). Hỏi có khả năng nảo để học sinh ấy chuyến toàn bộ các viên bi trên màn hình sang cùng một màu.