Bài 1

a) Giải phương trình \((13 x+1) \sqrt{2 x-1}+(1-7 x) \sqrt{8 x+1}=-4\).

b) Xét các số thực dương \(x, y, z\) thỏa mãn \(x y z+x+y=z\). Tính

\[S=x \sqrt{\dfrac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{z^2+z^2 x^2}}+y \sqrt{\dfrac{\left(1+z^2\right)\left(1+x^2\right)}{z^2+z^2 y^2}}+\sqrt{\dfrac{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{1+z^2}}\]

Bài 2

a) Với \(x, y, z>0\) thỏa mãn \(x+y+z=x y+y z+z x\), tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức

\[P=\dfrac{x^3}{\sqrt{2\left(y^4+1\right)}}+\dfrac{y^3}{\sqrt{2\left(z^4+1\right)}}+\dfrac{z^3}{\sqrt{2\left(x^4+1\right)}}\]

b) Trong hệ thập phân, có bao nhiêu số tự nhiên \(n\) có 4 chữ số sao cho tổng các chữ số của \(n\) bằng tổng các chữ số của \(n+2007\).

Bài 3

a) Cho các số nguyên dưong \(a, x, y, z \gt 1\) thỏa mãn \(a x y+1\) chia hêt cho \(z\), \(a y z+1\) chia hêt cho \(x\) và \(a z x+1\) chia hết cho \(y\). Chứng minh rằng

\[a \geq \dfrac{x y z-1}{x y+y z+z x}\]

b) Tìm tất cả các số nguyên dương \(n\) thỏa mãn trong hệ thập phân, tất cả các chữ số của \(2^n+1\) đều bằng nhau.

Bài 4

Cho tam giác \(A B C\) nhọn, \(A B \lt A C\), nội tiếp đường tròn \((O)\), các đường cao \(B E, C F\).

a) Chứng minh \(A O \perp E F\).

b) Gọi tiếp tuyến tại \(A\) của \((O)\) cắt \(B C\) tại \(T\). Gọi \(N\) là trung điểm của \(A H\). Gọi đuờng thẳng \(T N\) cắt đường thẳng \(B E\) tại \(G\). Chứng minh \(A G \perp A B\). 

c) Gọi đường thằng \(TN\) cắt cạnh \(AB,AC\) tại \(P,Q\). Điểm \(I\) thay đổi trên đoạn thẳng \(PQ\) (\(I\) khác \(P,Q\)). Điểm \(K, L\) thuộc đường thằng \(H Q, H P\) sao cho \(I K \perp A B, I L \perp A C\). Gọi \(P K\) cắt \(Q L\) tại \(S\). Kẻ \(D X\) vuông góc với đường thẳng \(IS\) tại \(X\). Chứng minh \(X\) thuộc một đường cố định khi \(I\) thay đổi.

Bài 5

a) Xét các số nguyên dương \(a, m, n\) thoả mãn \(6^n+1=a^m\). Chứng minh rằng \(m=1\).

b) Cho \(n\) đống sỏi chứa \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) viên sỏi với \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) là các số nguyên dương. An và Bình chơi một trò chơi theo lượt, An đi trước. Trong lượt của mình thì người chơi chọn một trong hai nước chơi:

- Bỏ 1 viên sỏi ra khỏi tất cả các đống sỏi

- Chọn một đống sỏi bất kỳ và chia đống sỏi này ra thành hai đống sỏi nhỏ hơn sao cho mỗi đống sỏi có ít nhất một viên sỏi

Không được đi một nước tạo ra đống sỏi rỗng. Ai không thực hiện được hành động nào trong lượt của mình là người thua cuộc.

i) Nếu ban đầu có 7 đống sỏi, mỗi đống sỏi có 7 viên, hỏi ai có chiến thuật thắng?

ii) Nếu ban đầu có 2025 đống sỏi, mỗi đống sỏi có 15 viên sỏi, hỏi ai có chiến thuật thắng?