Bài 1

1. Rút gọn biểu thức

\[Q=\left(\dfrac{\sqrt{x-y}}{\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}}+\dfrac{x-y}{\sqrt{x^2-y^2}-x+y}\right) \cdot \dfrac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2-y^2}}\]

với \(x \gt y \gt 0\).

2. Cho đường thẳng \(d\) có phương trình: \(y=(3 m+1) x-6 m-1\), \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đuờng thẳng \(d\) là lớn nhất.

3. Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình

\[x^2-2(3 m-1) x+m^2-m-4=0\]

có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) thỏa mãn

\[\left|x_1+x_2+\sqrt{x_1 x_2}\right|+\left|x_1+x_2-\sqrt{x_1 x_2}\right|=2008 .\]

Bài 2

1. Giải phương trình: \(4 \sqrt{x+3}-\sqrt{x-1}=x+7\)

2. Giải hệ phương trình:

\[\left\{\begin{array}{l}x^2+x-2 x y=2 \\x^4+x^2-4 x^3 y=4-4 x^2 y^2\end{array}\right.\]

Bài 3

1. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương \((x ; y ; z)\) thóa mãn phương trình sau: \(x^3+y^3+x^2(3 y+2 z) +y^2(3 x+2 z) +z^2(x+y)+4 x y z=2023\)

2. Trên mặt phẳng cho \(2 \times 2024\) điểm phân biệt, trong đó không có bất kỳ 3 điểm nào thẳng hàng. Nguời ta tô 2024 điểm trong các điểm đã cho bằng màu đỏ và tô 2024 điểm còn lại bằng màu xanh. Chứng minh rằng, bao giờ cũng tồn tại một cách nối tất cả các điểm màu đỏ với tất cả các điểm màu xanh bởi 2024 đoạn thẳng (mỗi đoạn thẳng có hai điểm đầu mút là một cặp điểm đỏ xanh) sao cho hai đoạn thẳng bất kỳ trong đó không có điểm chung.

Bài 4

Cho đường tròn \((O ; R)\) và dây cung \(B C\) cố định của đường tròn thỏa mãn \(B C<2 R\). Một điểm \(A\) di chuyển trên \((O ; R)\) sao cho tam giác \(A B C\) có ba góc nhọn. Các đường cao \(A D, B E, C F\) của tam giác \(A B C\) cắt nhau tại \(H\). Đường phân giác của \(\widehat{C H E}\) kéo dài về hai phía cắt \(A B\) và \(A C\) lần lượt tại \(M\) và \(N\).

1. Chứng minh tam giác \(A M N\) cân tại \(A\).

2. Gọi \(I, P, Q, J\) lần luợt là hình chiếu của \(D\) trên các cạnh \(A B, B E, C F, A C\). Chứng minh rằng bốn điểm \(I, P, Q, J\) cùng nằm trên một đuờng thẳng vuông góc với \(A O\).

3. Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(A M N\) cắt đường phân giác trong của \(\widehat{B A C}\) tại điểm thứ hai K. Chứng minh rằng HK luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 5

Cho \(x, y, z\) là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện \(x+y+z=x y z\).

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\[P=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+z^2}} \]