Bài 1

1. Giải phương trình: \(\sqrt{x-3}-\sqrt{2 x-7}=2 x-8\)

2. Cho \(a, b\) và \(c\) là các số thực khác 0 thỏa mãn điều kiện \(a^2-c^2=c, c^2-b^2=b\) và \(b^2-a^2=a\). Chứng minh \((a-b)(b-c)(c-a)=1\).

Bài 2

1. Cho ba số nguyên \(a, b\) và \(c\) thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2-2 a b c\) chia hết cho 6. Chứng minh abc chia hết cho 54.

2. Tìm tất cả cặp số nguyên dương \((x, y)\) thỏa mãn \(x^3 y-x^2 y-4 x^2+5 x y-y^2=0\).

Bài 3

1. Tìm tất cả cặp số nguyên \((x, y)\) sao cho \(x y\) là số chính phuơng và \(x^2+x y+y^2\) là số nguyên tố.

2. Với các số thực không âm \(a, b\) và \(c\) thỏa mãn \(a+2 b+3 c=1\), tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[P=(a+6 b+6 c)(a+b+c)\]

Bài 4

Cho tam giác \(A B C\) có ba góc nhọn \((A B \lt A C)\), nội tiếp đường tròn \((O)\). Ba đường cao \(A D, B E\) và \(C F\) của tam giác \(A B C\) cùng đi qua điểm \(H\). Đường thẳng \(E F\) cắt đurờng thẳng \(A D\) tại điểm \(Q\). Gọi \(M\) và \(I\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(B C\) và \(A H\). Đường thẳng \(I M\) cắt đường thẳng EF tại điểm \(K\).

1. Chứng minh tam giác \(AEK\) đồng dạng với tam giác \(A B M\).

2. Đường thẳng \(EF\) cắt đường thẳng \(B C\) tại điểm S, đường thẳng \(SI\) cắt đường thẳng \(M Q\) tại điểm \(T\). Chứng minh bốn điểm \(A, T, H\) và \(M\) cùng thuộc một đường tròn.

3. Tia \(TH\) cắt đường tròn \((O)\) tại điểm P. Chứng minh ba điểm \(A, K\) và \(P\) là ba điểm thẳng hàng.

Bài 5

Cho 2023 điểm nằm trong một hình vuông cạnh 1. Một tam giác đều được gọi là phủ điểm M nếu điểm \(M\) nằm trong tam giác hoặc nằm trên cạnh của tam giác.

1. Chứng minh tồn tại tam giác đều cạnh \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) phủ tứ giác này chứa ít nhất \(\left[\dfrac{2023}{4}\right]+1=506\) điểm ít nhất 253 điểm trong 2023 điểm đã cho.

2. Chứng minh tồn tại tam giác đều cạnh \(\dfrac{11}{12}\) phủ it nhất 506 điểm trong 2023 điểm đã cho.