Bài toán chi tiết
Bài 10 (HSG 9 Vòng 2 - Quận Cầu Giấy, HN - 2024)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 1 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 258
BẢN IN
Cách giải 1
Từ giả thiết:
\[
25 = (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2A
\]
Nên:
\[
A = \dfrac{25 - (a^2 + b^2 + c^2)}{2}
\]
Vì \(1 \leq a, b, c \leq 3\) nên
\[
\begin{cases}
(a - 1)(a - 3) \leq 0 \\
(b - 1)(b - 3) \leq 0 \\
(c - 1)(c - 3) \leq 0
\end{cases}
\]
\[
\Rightarrow
\begin{cases}
a^2 \leq 4a - 3 \\
b^2 \leq 4b - 3 \\
c^2 \leq 4c - 3
\end{cases} \Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 \leq 4(a + b + c) - 9 = 11
\]
Dẫn tới:
\[
A \geq \dfrac{25 - 11}{2} = 7
\]
GTNN của \(A = 7\) khi \((a, b, c) = (3; 1; 1)\) và các hoán vị.
b) Ta có:
\[
3a \leq \dfrac{a(b^2 + 3 - b)}{b^2 + 3 - b} = \dfrac{ab}{b^2 + 3} \leq a \Rightarrow \dfrac{a}{b^2 + 3} \leq \dfrac{a}{12}
\]
Nên
\[
\dfrac{a}{b^2 + 3} \leq \dfrac{a}{12}
\]
Tương tự:
\[
\dfrac{b}{c^2 + 3} \leq \dfrac{b}{12}, \quad \dfrac{c}{a^2 + 3} \leq \dfrac{c}{12}
\]
Cộng theo vế ta được:
\[
B = \dfrac{a + b + c}{3} - \dfrac{1}{12} (ab + bc + ca)
\]
\[
B \leq \dfrac{5}{3} - \dfrac{1}{12} \cdot 7 = \dfrac{13}{12}
\]
GTLN của \(B = \dfrac{13}{12}\) khi \((a, b, c) = (3; 1; 1)\) và các hoán vị.
