Toán 9 - Đại số

Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} x^4 - y^4 = \frac{1562x - 1563y}{4xy}, \\ x^4 + 14x^2y^2 + y^4 = \frac{1563x + 1562y}{x^2 + y^2}. \end{cases} \]

1.1 Cho biểu thức \[ M = (\frac{2}{\sqrt{xy}} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x}) \frac{\sqrt{xy}(x+y)-xy}{x \sqrt{x}+y \sqrt{y}} \] Với \(x>0; y>0 \)
a) Rút gọn biểu thức M
b) Biết \(x+y=4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M.
1.2 Cho các số dương a,b thỏa mãn \(ab+a+b=1\). Chứng minh: \[ \frac{a}{a^2+1} + \frac{b}{b^2+1} = \frac{ab+1}{\sqrt{2(a^2+1)(b^2+1)}} \]

Câu 1. (1) Giải phương trình \[ x^2-3 x+10=4 \sqrt{x+2} \] (2) Cho các số thực \(x, y\) thoả mãn \[ x^3-3 x^2+6 y=11 \quad \text { và } \quad y^3-3 y^2+6 x=-3 \text {. } \] Tính giá trị của biểu thức \(S=x+y\).

1) Rút gọn biểu thức \[ A=\frac{x^4-(x-1)^2}{\left(x^2+1\right)^2-x^2}+\frac{x^2-\left(x^2-1\right)^2}{x^2(x+1)^2-1}+\frac{x^2(x-1)^2-1}{x^4-(x+1)^2} \] 2) Cho \[ f(x)=\frac{2 \cdot 1+1}{\left(1^2+1\right)^2}+\frac{2 \cdot 2+1}{\left(2^2+2\right)^2}+\ldots+\frac{2 x+1}{\left(x^2+x\right)^2} \] với \(x \in \mathbb{N}^*\). Tìm \(x\) để \[ f(x)=\frac{2024}{2025} \]

1) Đa thức \(f(x)\) khi chia cho \((x+1)\) thì dư 4, khi chia cho \((x+2)\) thì dư 1, còn khi chia cho \((x+1)(x+2)\) thì được thương là \(5 x^2\) và còn dư. Hỏi khi chia đa thức \(f(x)\) cho \(x-1\) thì dư bao nhiêu?
2) Cho phương trình \((m+1) x^3+(3 m-1) x^2-x-4 m+1=0\) với ( \(m\) là tham số). Tìm giá trị của \(m\) để phương trình có ba nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm âm.
3) Xét hai số thực dương thay đổi \(a, b\) sao cho \(a+b \geq 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\sqrt{9+a^2 b^2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\).

1. Cho biểu thức: \(A=\left(2-\dfrac{2 \sqrt{x y}+1}{1+\sqrt{x y}}+\dfrac{1+\sqrt{x y}+2 \sqrt{x}}{1-x y}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x y}-\sqrt{x}}{\sqrt{x y}+1}-\dfrac{\sqrt{x y}+\sqrt{x}}{\sqrt{x y}-1}\right)\) ( với

\(x>0 ; y>0 ; x y \neq 1),(2)\)

a) Rút gọn biểu thức A .

b) Cho \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}=12\), tìm giá trị lớn nhất của \(A\).

1.2. Xét ba số thực dương \(a, b, c\) thoả mãn \(\dfrac{c}{b}=\dfrac{\sqrt{c^2+1}}{b}-\dfrac{a c}{c+\sqrt{c^2+1}}\). Tính giá trị biểu thức

\[P=\dfrac{1}{\sqrt{a b}+a \sqrt{b c}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{b c}+\sqrt{b}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{c a}+\sqrt{c}+1}\]

Bình khởi hành từ thành phố Lào Cai về huyện Bảo Thắng. Sau 60 phút, Minh và An khởi hành từ huyện Bảo Thắng về thành phố Lào Cai. Trên đường đi, Bình gặp Minh và An ở hai địa điểm cách nhau 6 km. Tính vận tốc của Bình. Biết rằng thành phố Lào Cai cách huyện Bảo Thắng 33 km; vận tốc của Bình gấp rưỡi vận tốc của An và bằng \(\dfrac{3}{2}\) vận tốc của Minh.

a) Nhà Huệ dự định trồng cây su hào trên một mảnh vườn được chia thành nhiều luống và mỗi luống sẽ được trồng một số lượng cây như nhau. Nếu tắng thêm 8 luống và mỗi luống trồng giảm đi 3 cây thì số cây toàn vườn giảm đi 54 cây so với dự định. Nếu giảm đi 4 luống và mỗi luống trồng nhiều hơn 2 cây thì số cây trong toàn vườn sẽ tăng thêm 32 cây so với dự định. Hỏi theo dự định nhà Huệ trồng bao nhiêu cây su hào trên mảnh vườn đó?

b) Giải phương trình \(\sqrt{x+1}+\sqrt{4 x-3}=x^2-4\)

a) Cho biểu thức \[ A = \left( 1 - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + 1}} \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 2} + \frac{\sqrt{x} + 2}{3 - \sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x} + 2}{x - 5\sqrt{x} + 6} \right), \quad (x \geq 0, x \neq 4, x \neq 9). \] Rút gọn biểu thức \(A\) và tìm các giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(A\) nhận giá trị nguyên.

b) Cho hệ phương trình \[ \begin{cases} mx - y = 2, \\ 3x + my = 5 \end{cases} \] với \(m\) là số thực. Tìm giá trị của \(m\) để hệ phương trình trên có nghiệm \((x, y)\) thỏa mãn \(x > 0, y > 0\). 

Một phòng đọc của một thư viện có ba kệ sách. Nếu chuyển 150 quyển sách từ kệ thứ hai sang kệ thứ ba thì số sách ở kệ thứ hai bằng \(\frac{2}{3}\) số sách ở kệ thứ ba. Nếu chuyển 50 quyển sách từ kệ thứ hai sang kệ thứ nhất và 50 quyển sách từ kệ thứ ba sang kệ thứ nhất thì số sách ở kệ thứ nhất và kệ thứ ba bằng nhau. Nếu chuyển 150 quyển sách từ kệ thứ hai sang kệ thứ nhất thì số sách ở kệ thứ nhất bằng \(\frac{9}{8}\) số sách ở kệ thứ hai. Tính số sách ban đầu ở mỗi kệ.

a) Giải phương trình \[ \frac{3 x}{x^2+2 x-2}+\frac{5 x}{x^2+x-2}=\frac{7}{2} \]

b) Giải hệ phương trình 

\[ \left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+x y+1=4 y \\ y(x+y)^2=2 x^2+7 y+2\end{array}\right. \]

Cho \(a\) và \(b\) là hai nghiệm phương trình \(x^2-6x-2=0\) với \(a \gt b\). Cho dãy số \(u_n = a^n - b^n\) với \(n \geq 1\). Tính giá trị biểu thức:

\[ P = \frac{u_{10}-2u_{8}}{2u_{9}} \]

Cho biểu thức 

\[ P=\frac{2 x+3}{\sqrt{x}}+\frac{x \sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}-\frac{x^2+\sqrt{x}}{x \sqrt{x}+x}\]

với \(x>0, x \neq 1\).

a) Rút gọn biểu thức \(P\).

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\).

Giải các phương trình sau

a) \(\sqrt{x+1}=2 x-1\)

b) \(\sqrt{2 x^2+8 x+6}+\sqrt{x^2-1}=2(x+1)\)

c) \(x^2+5 x-14=2(x+2) \sqrt{x-2}\)

Giải các hệ phương trình sau

а) \[ \left\{\begin{array}{l}\sqrt{x+y-3}=\sqrt{2 x-1} \\ x^2+y^2-x y=7\end{array}\right. \]

b) \[ \left\{\begin{array}{l}\left(x^2+x y\right)(y+1)=4 \\ x^2+3 x y+y^2+x=-3\end{array}\right. \]

Tổng tất cả các số nguyên \(n\) sao cho biểu thức \(\dfrac{n^{3}-n+120}{n^{2}-1}\) nhận giá trị nguyên là:

Trong một kỳ thi chọn đội tuyến học sinh giòi của một trường, nếu sắp xếp mỗi phòng thi 12 thi sinh thi còn thừa một em, nếu giảm một phòng thi thi số học sinh được chia đều cho mỗi phòng còn lại. Hỏi có bao nhiêu học sinh tham dự kỳ thi, biết rằng mỗi phòng thi có không quá 24 học sinh?

Cho biểu thức: \(P=\dfrac{x \sqrt{x}+26 \sqrt{x}-19}{x+2 \sqrt{x}-3}-\dfrac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+3}\), (Với \(x \geq 0 ; x \neq 1)\) giá trị biểu thức P với \(x=\sqrt[3]{7+5 \sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5 \sqrt{2}}+2\) là

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba đường thẳng:

\(\left(d_{1}\right): y=-3 x+6\)

\(\left(d_{2}\right): y=\dfrac{1}{2} x-1\)

\(\left(d_{3}\right): y=2 x+4\)

Gọi \(A\) là giao điểm của \((d_{1})\) và \((d_{2})\), \(B\) là giao điểm của \((d_{2})\) và \((d_{3})\), \(C\) là giao điểm của \((d_{3})\) và \((d_{1})\). Diện tich của \(\triangle A B C\) là:

Cho \(a, b\) là hai số thực thoả \(5 a+b=22\). Biết phương trình \(x^{2}+ax+b=0\) có hai nghiệm là hai số nguyên dương. Hai nghiệm đó là:

Cho \(x=1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\). Giá trị của biều thức: \(P=x^{5}-4 x^{4}+x^{3}-x^{2}-2 x+2015\) là:

Các số tự nhiên \((x ; y)\) sao cho \(\left(2^{x}+1\right)\left(2^{x}+2\right)\left(2^{x}+3\right)\left(2^{x}+4\right)-5^{y}=11879\) là ...

Nhân ngày Tết Trung thu một rạp chiếu phim phục vụ khán già một bộ phim hoạt hình với quy định về giá bán vé như sau:

+ Loại I (dành cho trẻ từ 6 đến 13 tuổi): 50.000 d một vé.

+ Loại II (dành cho người trên 13 tuồi): 100.000d một vé.

Lãnh đạo rạp chiếu phim tính được rằng: Để không phải bù lỗ số tiền bán vé thu được phải đạt tối thiểu 20 triệu đồng. Hết thời gian bán vé, nhân viên báo cáo với lãnh đạo tổng số vé bán được là 500 vé. Lãnh đạo rạp chiếu phim khẳng định ngay là không phài bù lỗ. Số tiền lãi rạp thu được tối thiểu là bao nhiêu, biết rằng mỗi trè em phải có it nhất một người lớn đi kèm.

Rút gọn biểu thức:

\[A=\left(\frac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a-b}+\sqrt{a+b}}+\frac{a-b}{\sqrt{a^2-b^2}-a+b}\right) \cdot \frac{a^{2}+b^{2}}{\sqrt{a^2-b^2}} \]

với \(a \gt b \gt 0\).

Cho \(a, b\) là các số thực dương phân biệt thóa mãn:

\[\frac{8 b^8}{a^8-b^8}+\frac{4 b^4}{a^4+b^4}+\frac{2 b^2}{a^2+b^2}+\frac{b}{a+b}=4\]

và

\[a^2=2025+b^2\]

Tính giá trị biểu thức: \(P=(a-b-10)^2+2000\).

Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{array}{l}13 \sqrt{x-1}+9 \sqrt{y+2}=16 x \\ \left(x^2+x\right) \sqrt{x-y+3}=2 x^2+x+y+1\end{array}\right.\)

Có hai chiếc cọc cao 10 m và 30 m đặt vuông góc với mặt đất tại hai vị trí \(A\) và \(B\). Biết khoảng cách giữa hai cọc bằng 24 m . Người ta đặt một cái chốt ở vị trí \(M\) trên mặt đất, nằm giữa hai chân cọc để giăng dây nối đến hai đỉnh \(C\) và \(D\) của hai cọc (như hình vẽ). Hỏi người ta phải đặt chốt ở vị trí cách \(A\) một khoảng bằng bao nhiêu trên mặt đất để tổng độ dài của hai sợi dây đó là ngắn nhất?

Cho \(a^2(b+c)=b^2(c+a)=2024\) yới \(a, b, c\) đôi một khác nhau và khác không. Giá trị của biểu thức \(c^2(a+b)\) là :...

Cho phương trình \(x^2+2 x-\sqrt{x^2+2 x+2}=0\).

Tổng các nghiệm của phương trình trên là:...

Cho số nguyên tố p và q sao cho \(\mathrm{p}^2=8 \mathrm{q}+1\) thì giá trị của \(\mathrm{p}+\mathrm{q}\) là...

Giá trị biểu thức \(Q=\sqrt{\sin ^4 \alpha+4 \cos ^2 \alpha}+\sqrt{\cos ^4 \alpha+4 \sin ^2 \alpha}\) là

1) Cho số thực \(x=\sqrt{29+12 \sqrt{5}}+\sqrt[3]{16-8 \sqrt{5}}\). Tính giá trị biểu thức

\[ P=\dfrac{x^4-8 x^2+13 x^2-16 x+31}{x^3-9 x^2+19 x-9} \]

2) Bác An gửi tiết kiệm ngân hàng số tiền 500 triệu đồng với kỳ hạn một năm. Sau một năm bác An mong muốn có số tiền cả gốc và lãi ít nhất là 530 triệu đồng. Hỏi lãi suất của ngân hàng tại thời điểm bác An gửi tiền ít nhất là bao nhiêu % trong một năm, để bác An có được số tiền như mong muốn?

1) Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) cho đường thẳng \(d: y=2 x-2 m+1\) ( \(m\) là tham số). Tìm \(m\) để đường thẳng \(d\) cắt trục \(Ox, Oy\) tại hai điểm \(A, B\) sao cho 3 đỉnh tam giác \(OAB\) nằm trên một đường tròn có bán kính \(5\sqrt{5}\) (với điểm \(O\) là gốc tọa độ). 

2) Cho hình vuông \(ABCD\), độ dài cạnh bằng \(24 cm\). Trong hình vuông đó có đánh dấu 2026 điểm phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính \(2 cm\) chứa ít nhất 26 điểm trong các điểm trên.

1) Giải phương trình \(6 x^4-4 x^3-66 x^2+72 x+20=(x-1)(x^2+2 x-5) \sqrt{2 x+5}\).

2) Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{array}{l}8 x^3 y^3+6 x y^3-5 y^2=-1 \\ 6 x y^3-2 y^2=1\end{array}\right.\).

1. Rút gọn biểu thức

\[Q=\left(\dfrac{\sqrt{x-y}}{\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}}+\dfrac{x-y}{\sqrt{x^2-y^2}-x+y}\right) \cdot \dfrac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2-y^2}}\]

với \(x \gt y \gt 0\).

2. Cho đường thẳng \(d\) có phương trình: \(y=(3 m+1) x-6 m-1\), \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đuờng thẳng \(d\) là lớn nhất.

3. Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình

\[x^2-2(3 m-1) x+m^2-m-4=0\]

có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) thỏa mãn

\[\left|x_1+x_2+\sqrt{x_1 x_2}\right|+\left|x_1+x_2-\sqrt{x_1 x_2}\right|=2008 .\]

1. Giải phương trình: \(4 \sqrt{x+3}-\sqrt{x-1}=x+7\)

2. Giải hệ phương trình:

\[\left\{\begin{array}{l}x^2+x-2 x y=2 \\x^4+x^2-4 x^3 y=4-4 x^2 y^2\end{array}\right.\]

1. Giải phương trình: \(\sqrt{x-3}-\sqrt{2 x-7}=2 x-8\)

2. Cho \(a, b\) và \(c\) là các số thực khác 0 thỏa mãn điều kiện \(a^2-c^2=c, c^2-b^2=b\) và \(b^2-a^2=a\). Chứng minh \((a-b)(b-c)(c-a)=1\).

a) Giải phương trình \((13 x+1) \sqrt{2 x-1}+(1-7 x) \sqrt{8 x+1}=-4\).

b) Xét các số thực dương \(x, y, z\) thỏa mãn \(x y z+x+y=z\). Tính

\[S=x \sqrt{\dfrac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{z^2+z^2 x^2}}+y \sqrt{\dfrac{\left(1+z^2\right)\left(1+x^2\right)}{z^2+z^2 y^2}}+\sqrt{\dfrac{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{1+z^2}}\]

a) Giải phương trình \(x^3-2 x^2+x-6=5(x-1) \sqrt{x}\).

b) Giải hệ phương trình

\[\left\{\begin{array}{l}x+y+z=3 \\x^3+y^3+z^3=x^4+y^4+z^4\end{array}\right.\]