Toán 9 - Số học

1) Cho \(a, b, c\) là các số nguyên khác 0 thỏa mãn \[ \frac{1}{a}-\frac{1}{2 b}=\frac{1}{3 c} \] Chứng minh \(a^2+4 b^2+9 c^2\) là số chính phương.
2) Cho ba số không âm \(a, b, c\) thỏa mãn \(a+b+c=2\). Chứng minh \(a+b \geq 4 a b c\).

a) Tìm các cặp nghiệm nguyên \((x, y)\) thỏa mãn \(x^2(y-1)+y^2(x-1)=1\)
b) Cho \(a, b, c\) là các số nguyên dương lẻ sao cho \(a\) không là số chính phương và \(a^2+a+1=3\left(b^2+b+1\right)\left(c^2+c+1\right)\). Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai số \(b^2+b+1\) và \(c^2+c+1\) là hợp số.

1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n > 3\) thì \(A = n^3 - n^2 - n - 2\) không phải là số nguyên tố.

2) Cho \(x, y\) là các số nguyên thỏa mãn \(3xy(x - y) + 1\) chia hết cho 3. Chứng minh \(x + y\) chia hết cho 3. 

3) Tìm tất cả các số nguyên \(x, y\) thỏa mãn phương trình: \[ 6x^2 - xy - 2y^2 + 4x + 2y - 7 = 0. \]

a) Tìm số nguyên dương \(n\) để \(n^{2027}+n^{2026}+1\) là số nguyên tố.

b) Có bao nhiêu số tự nhiên \(n\) không vượt quá 2025 sao cho \(n^3+2025\) chia hết cho 6 .

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên \(n\) chẵn thì \(n^3 + 20n + 96\) chia hết cho 48. 

b) Cho ba số dương \(x, y, z\) thỏa mãn \(x + y + z = 6\). Chứng minh rằng: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq \frac{4}{9}z. \]

Cho số tự nhiên \(n>1\), và số \(M=\overline{4 a b 9}\). Chứng minh rằng, nếu \(M\) là số chính phương, thì số

\[ N=\overline{4 \underbrace{a \ldots a}_{n \text { chứ số } a} \underbrace{b \ldots b}_{n \text { chứ số } b}} \]

cũng là một số chính phương.

Cho số nguyên \(n \geq 5\). Đặt

\[ \begin{gathered} A_n=(n-1)!+\frac{n!}{1!}+\frac{(n+1)!}{2!}+ \\ \cdots+\frac{(2 n-1)!}{n!} \end{gathered} \]

và

\[ B_n=(n+5)(n+6) \cdots(2 n) \].

Chứng minh rằng 

\[ \frac{n A_n+B_n}{B_n} \] 

là một số chính phương.

Tìm tất cả các cặp số nguyên tố \((p, q)\) sao cho \(p!+p^2+q!+q^2+68\) cũng là số nguyên tố.

Biết rằng số Mersenne \(M_{179}=2^{179}-1\) có hai ước nguyên tố không vượt quá 2024. Hãy tìm hai ước nguyên tố đó.

Cho số nguyên \(n \geq 4\), và cho một đa giác lồi có \(n\) đỉnh. Tại mỗi đỉnh của đa giác, người ta ghi một số tự nhiên, trong phạm vi từ 1 đến \(n\), sao cho tại hai đỉnh khác nhau được ghi hai số khác nhau. Hai đỉnh không kề nhau được gọi là một cặp tốt, nếu chúng chia chu vi của đa giác thành hai đường gấp khúc, mà ít nhất một trong hai đường ấy có tính chất: hai số được ghi ở hai đầu mút nhỏ hơn tất cả các số được ghi tại các đỉnh còn lại của nó. Kí hiệu \(f(n)\) là số các cặp tốt. Hãy xác định tất cả các giá trị có thể của \(f(n)\).

a) Năm 2024, số tuổi và năm sinh của thầy giáo A có tỉ số giữa bội chung nhỏ nhất và ước chung lớn nhất là 87. Hãy tính xem thầy giáo \(A\) sinh năm nào?

b) Tìm hai số nguyên tố \(p, q(p \gt q)\) thỏa mãn điều kiện: \(5 p-1 \vdots q\) và \(5 q-1 \vdots p\).

Số nghiệm nguyên của phương trình: \(x^{2}-2 y(x-y)=2(x+1)\).

Có bao nhiêu số tự nhiên \(n\) để \(A=n^{2}+n+6\) là số chính phương

Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình:

\[(2 x-y-2)^2=7\left(x-2 y-y^2-1\right) \]

Cho số tự nhiên \(n \geq 2\) và số nguyên tố \(p\). Chứng minh rằng nếu \(p-1\) chia hết cho \(n\) và \(n^6-1\) chia hết cho \(p\) thì ít nhất một trong hai số \(p-n\) và \(p+n\) là số chính phương.

Số cặp số tự nhiên \((n, k)\) sao cho \(\mathrm{n}^4+4^{2 \mathrm{k}+1}\) là số nguyên tố là:

1) Tồn tại hay không các số nguyên \(a, b, c\) không đồng thời bằng 0 , có tổng bằng 0 , thỏa mãn tổng lũy thừa bậc 17 của ba số là một số chính phương?

2) Tồn tại hay không các số nguyên \(a, b, c\) không đồng thời bằng 0 , có tổng bằng 0 , thỏa mãn là một số chính phương?

Tìm các cặp số nguyên dương \((x, y)\) sao cho \(x^2 y+x+y\) chia hết cho \(x y^2+y+7\).

1. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương \((x ; y ; z)\) thóa mãn phương trình sau: \(x^3+y^3+x^2(3 y+2 z) +y^2(3 x+2 z) +z^2(x+y)+4 x y z=2023\)

2. Trên mặt phẳng cho \(2 \times 2024\) điểm phân biệt, trong đó không có bất kỳ 3 điểm nào thẳng hàng. Nguời ta tô 2024 điểm trong các điểm đã cho bằng màu đỏ và tô 2024 điểm còn lại bằng màu xanh. Chứng minh rằng, bao giờ cũng tồn tại một cách nối tất cả các điểm màu đỏ với tất cả các điểm màu xanh bởi 2024 đoạn thẳng (mỗi đoạn thẳng có hai điểm đầu mút là một cặp điểm đỏ xanh) sao cho hai đoạn thẳng bất kỳ trong đó không có điểm chung.

1. Cho ba số nguyên \(a, b\) và \(c\) thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2-2 a b c\) chia hết cho 6. Chứng minh abc chia hết cho 54.

2. Tìm tất cả cặp số nguyên dương \((x, y)\) thỏa mãn \(x^3 y-x^2 y-4 x^2+5 x y-y^2=0\).

1. Tìm tất cả cặp số nguyên \((x, y)\) sao cho \(x y\) là số chính phuơng và \(x^2+x y+y^2\) là số nguyên tố.

2. Với các số thực không âm \(a, b\) và \(c\) thỏa mãn \(a+2 b+3 c=1\), tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[P=(a+6 b+6 c)(a+b+c)\]

a) Cho các số nguyên dưong \(a, x, y, z \gt 1\) thỏa mãn \(a x y+1\) chia hêt cho \(z\), \(a y z+1\) chia hêt cho \(x\) và \(a z x+1\) chia hết cho \(y\). Chứng minh rằng

\[a \geq \dfrac{x y z-1}{x y+y z+z x}\]

b) Tìm tất cả các số nguyên dương \(n\) thỏa mãn trong hệ thập phân, tất cả các chữ số của \(2^n+1\) đều bằng nhau.

a) Xét các số nguyên dương \(a, m, n\) thoả mãn \(6^n+1=a^m\). Chứng minh rằng \(m=1\).

b) Cho \(n\) đống sỏi chứa \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) viên sỏi với \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) là các số nguyên dương. An và Bình chơi một trò chơi theo lượt, An đi trước. Trong lượt của mình thì người chơi chọn một trong hai nước chơi:

- Bỏ 1 viên sỏi ra khỏi tất cả các đống sỏi

- Chọn một đống sỏi bất kỳ và chia đống sỏi này ra thành hai đống sỏi nhỏ hơn sao cho mỗi đống sỏi có ít nhất một viên sỏi

Không được đi một nước tạo ra đống sỏi rỗng. Ai không thực hiện được hành động nào trong lượt của mình là người thua cuộc.

i) Nếu ban đầu có 7 đống sỏi, mỗi đống sỏi có 7 viên, hỏi ai có chiến thuật thắng?

ii) Nếu ban đầu có 2025 đống sỏi, mỗi đống sỏi có 15 viên sỏi, hỏi ai có chiến thuật thắng?

a) Tìm tất cả các số nguyên \(n\) sao cho

\[(n+3)\left(n^2+3 n+3\right)\]

là tích của ba số nguyên tố \(p \gt q \gt r\) thỏa mãn \(p-r=6\).

b) Cho số nguyên dương \(n\) và số nguyên tố \(p \ne n\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

i) \(\dfrac{p+1}{2}\) cũng là số nguyên số

ii) \(p+n^2\) là ước của \(p^2+n\)

Chứng minh rằng \(p-1\) là số chính phương. 

a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

\[1!+2!+\ldots+(x+1)!=y^{x+1}\]

b) An và Bình chơi một trò chơi. Ban đầu, có 5000 viên đá trong một đống, và hai người chơi lần lượt lấy đá ra bằng cách thực hiện các lượt chơi. Ở lượt thứ \(k\), người chơi có thể lấy bất kỳ số lượng đá nào từ 1 đến \(k\) (bao gồm cả 1 và \(k\)). An thực hiện các lượt đi lẻ, và Bình thực hiện các lượt đi chẵn. Người chơi lấy viên đá cuối cùng sẽ thắng. Ai sẽ thắng nếu cả hai chơi hoàn hảo?

a) Tìm các số \(\mathrm{x}, \mathrm{y}\) nguyên dương thỏa mãn phương trình: \(16\left(x^3-y^3\right)=15 x y+371\)

b) Trung tâm thành phố Hải Phòng có tất cả 2016 bóng đèn chiếu sáng đô thị, bao gồm 670 bóng đèn ánh sáng trắng. 672 bóng đèn ánh sáng vàng nhạt, 674 bóng đèn ánh sáng vàng sậm. Người ta thực hiện dự án thay bóng đèn theo quy luật sau: Mỗi lần người ta tháo bỏ hai bóng đèn khác loại và thay vào đó bằng 2 bóng đèn thuộc loại còn lại. Hỏi theo quy trình trên, đến một lúc nào đó, người ta có thể nhận được tất cả các bóng đèn đều thuộc cùng một loại không?

a) Tìm các số nguyên \(\mathrm{m}, \mathrm{n}\) với \(m \geq n \geq 0\) sao cho \((m+2 n)^3\) là ước của \(9 n\left(m^2+m n+n^2\right)+16\)

b) Trong dãy 2016 số thực \(\mathrm{a}_1, \mathrm{a}_2, \mathrm{a}_3, \ldots, \mathrm{a}_{2016}\), ta đánh dấu tất cả các số dương và số mà có ít nhất một tổng của nó với một số các số liên tiếp liền ngay sau nó là một số dương (ví dụ trong dãy \(-6,5,-3,3,1,-1,-2,-3, \ldots,-2011\) ta đánh dẫu các số \(a_2=5, a_3=-3, a_4=3\), \(a_5=1\) ). Chứng minh rằng nếu trong dãy đã cho có ít nhất một số dương thì tổng tất cả các số được đánh dấu là một số dương

a) Chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên \(x, y, z\) thỏa mãn \(x^{16}+y^{16}+2017=z^{16}\).

b) A và B chơi một trò chơi, A chơi trước. Ban đầu có \(n\) viên sỏi. Trong mồi lượt chơi của minh, người chơi sẽ lấy ra 4,5 hoặc 7 viên sỏi. Quá trình đó tiếp tưc như vậy. Ai đển lượt chơi của mình mả không thể lấy thêm sỏi là thua cuộc. Biết cả hai đều là người chơi thông minh, chứng minh rẳng nếu \(n\) có dạng \(11 k+l\) với \(k, l \in \mathbb{N}, 0 \leq l \leq 3\) thì B thắng cuộc.

a) Với mỗi số nguyên dương \(n\), ký hiệu \(S_n=1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2\). Chứng minh rằng \(24(2 n+3) S_n+1\) là số chính phương.

b) Đặt tù̀y ý 2018 tấm bìa hình vuông canh bằng 1 nằm trong một hình vuông lớn có cạnh bằng 131 . Chứng minh rằng trong hình vuông lớn, ta luôn đặt được một một hình tròn bán kính 1 sao cho hình tròn trên không có điểm chung với bất cứ hình vuông nào.

a) Tìm các số nguyên tố \(p, q\) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau

i. \(p^2 q+p\) chia hết cho \(p^2+q\),

ii. \(p q^2+q\) chia hết cho \(q^2-p\).

b) Viết lên bảng 2019 số

\[ 1 ; \frac{1}{2} ; \frac{1}{3} ; \ldots ; \frac{1}{2018} ; \frac{1}{2019} \]

Từ các số đã viết, xóa đi hai số bất kỳ \(x, y\) rồi viết lên bảng số \(\frac{x y}{x+y+1}\) (các số còn lại trên bảng giữ nguyên). Tiếp tục thực hiện thao tác trên cho đến khi bảng chi còn lại đúng một số. Hòi số đó bằng bao nhiêu?

a) Giải phương trình nghiệm nguyên \(x^{2} y-x y-2 x^{2}+5 x=4\).

b) Giả sử rằng \(A\) là tập hợp con của tập hợp \(\{1 ; 2 ; 3 ; \ldots ; 1023\}\) sao cho \(A\) không chứa hai số nào mà số này gấp đôi số kia. Hỏi \(A\) có thể có nhiều nhất bao nhiêu phần tử?

a) Tìm các số nguyên dương \(x, y\) thỏa mãn \(y^{4}+2 y^{2}-3=x^{2}-3 x\).

b) Cho tập hợp \(X=\{1 ; 2 ; 3 ; \ldots ; 101\}\). Tìm số tự nhiên \(n(n \geq 3)\) nhỏ nhất sao cho với mọi tập con \(A\) tùy ý gồm \(n\) phần tử của \(X\) dều tồn tại 3 phần tử đôi một phân biệt \(a, b, c \in A\) thỏa mãn \(a+b=c\).

a) Chứng minh rằng nếu \(2^{n}=10 a+b\) với \(a, b, n \in \mathrm{Z}^{+}\)thoả mãn \(0<b<10\) thì \(a b: 6\).

b) Viết lên bảng 229 số tự nhiên liên tiếp \(1,2,3, \ldots, 229\). Từ các số đã viết xoá đi bốn số bất kỳ \(x, y, z, t\) rồi viết lên bảng số \(\dfrac{x+y+z+t}{2}\) (các số còn lại trên bảng giữ nguyên). Tiếp tục thực hiện thao tác trên đến khi trên bảng chỉ còn lại đúng một số, gọi số đó là \(a\). Chứng minh rằng \(a<2022\).

a) Tìm các số nguyên tố \(a, b\) và số nguyên dương \(m\) thoả mãn \(a^{2}+b^{2}+18 a b=4.5^{m}\).

b) Cho 8 điểm phân biệt trên một đường tròn. Đánh số các điểm đó một cách ngẫu nhiên bởi các số \(1,2, \ldots, 8\) (hai điểm khác nhau được đánh số bởi hai số khác nhau). Mỗi dây cung nối hai điểm bất kỳ được gán với giá trị tuyệt đối của hiệu các số ở hai đầu mút. Chứng minh rằng luôn tìm được bốn dây cung, đôi một không có điểm chung, sao cho tổng của các số gán với bốn dây cung đó bằng 16.

a) Tìm tất cả các số nguyên dương \(x\) và \(y\) sao cho \(2^x+3^y\) là số chính phương.

b) Trong một hội nghị, các đại biểu đến từ \(n\) quốc gia, ngồi quanh một bàn tròn. Biết rằng với hai đại biểu cùng quốc gia bất kỳ thì người ngồi cạnh bên phải của họ luôn không cùng quốc gia. Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu đại biểu?

1) Tim \(x, y\) nguyên thoả mãn

\[ x^3+2 y^3+2 x^2 y+y^2 x+x+2 y=3 \]

2) Với \(x, y, z\) là những số thực thoả mãn

\[ 0 \lt x \leq y \leq z \leq 3, \quad y+z \leq 5, \quad x+y+z \leq 6 \]

Chứng minh rằng

\[ x^2+y^2+z^2 \leq 14 \]

1) Tìm \(x, y\) nguyên thỏa mān

\[ y=\dfrac{x+1}{x^4+1} \]

2) Với \(a, b, c\) là những số thực dương thỏa mãn \(a b+b c+c a=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[ P=2 a^2+b^2+c^2 \]

1. Giải phương trình: 

\[ \sqrt{4-3 x}+\sqrt{3 x-2}=\dfrac{3 x^2-2 x+3}{x^2+1} \]

2. Với \(x, y\) là các số tự nhiên thỏa mãn: \(x+y+1\) là số nguyên tố và \(x+y+1\) là một ước của \(2\left(x^2+y^2\right)-1\). Chứng minh: \(x=y\).

1. Tìm tất cả các bộ 4 số nguyên dương \((a ; b ; c ; p)\) trong đó \(p, p+2\) là số nguyên tố lẻ, sao cho \(2^a \cdot p^b=(p+2)^c-1\).

2. Tìm tất cả các giá trị nguyên của \(m\) để tất cả các nghiệm của đa thức \(P(x)=3 x^3-3 x^2+m\) đều là các số hữu tỉ.

a) Cho \(a, b, c\) là ba số thực phân biệt thỏa mãn \(\dfrac{a^3+1}{a}=\dfrac{b^3+1}{b}=\dfrac{c^3+1}{c}\). Chứng minh rà̀ng \(a b c+1=0\).

b) Chứng minh \(a=\sqrt[3]{3 + \sqrt{8}}+\sqrt[3]{3-\sqrt{8}}\) là số vô tỷ.

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình \(\left(x^2+y\right)\left(y^2+x\right)=(x-y)^3\).

b) Giải phương trình \(x^2-x-4=2 \sqrt{x-1}(1-x)\).

1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \(k\) và \(a\) là số nguyên tố lớn hơn 5 thì \(a^{4 k}-1\) luôn chia hết cho 240 .

2) Xét các số dương thay đồi \(a, b, c\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[ T=\dfrac{8\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a b+b c+c a}+\dfrac{27(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)^3} \]

Cho hai số nguyên \(a, b \geq 3\) thỏa mãn \(a^2=b^3+a b\).

a) Chứng minh \(a, b\) đều là số tự nhiên chẵn.

b) Chứng minh \(4 b+1\) là số chính phurơng.

c) Chứng minh rằng \(a\) không là lũy thừa lớn hơn 1 của một số nguyên dương.

1) Tim tất cả các số nguyên \(x, y\) thỏa mãn đẳng thức

\[ x^4-x^3+y^4-y^3=x y(2 x y-x-y+3) \]

2) Cho \(x, y, z\) là các số thực dương không vượt quá 1. Chứng minh rằng

\[ \dfrac{x y+1}{x+y}+\dfrac{y z+1}{y+z}+\dfrac{z x+1}{z+x} \geq \dfrac{x y+y z+z x+3}{x+y+z}+1 \]

a) Cho \(a, b\) là hai số nguyên trái dấu. Biết rằng phương trình \(x^2+a x+b=0\) có nghiệm nguyên và phương trình \(x^2+b x+a=0\) có nghiệm nguyên. Chứng minh rằng \(a+b=-1\).

b) Tìm số nguyên \(z\) và các số hữu tỷ \(x, y\) thỏa mān điều kiện \(\dfrac{3}{\sqrt{2 x}}-1=1-\sqrt{\dfrac{3}{y}}=\dfrac{z}{x+y}\).

a) Tất cả các số nguyên dương \(x, y\) thỏa mãn

\[ (x+y)^3+6 x y+3 y^2+y=8 x^3+9 x^2+1 \]

b) Xét các số thực dương \(x_1, x_2, \ldots, x_{2024}\) thỏa mãn \(x_1 x_2 \cdots x_{2024}=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

\[ P=\left(x_1^2-x_1+1\right)\left(x_2^2-x_2+1\right) \cdots\left(x_{2024}^2-x_{2024}+1\right) \]

1) Giả sử \(n\) là số nguyên sao cho \(3 n^3-1011\) chia hết cho 1008 . Chứng minh rằng \(n-1\) chia hết cho 48.

2) Với \(a, b, c\) là các số dương thỏa mãn điều kiện \(a b+b c+c a=1\). Chứng minh rằng

\[ \left(1+\dfrac{1}{1+a^2}\right)\left(1+\dfrac{1}{1+b^2}\right)\left(1+\dfrac{1}{1+c^2}\right)>4 \]

1) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \((x ; y)\) thỏa mãn

\[ 4^x+\left(1+3^y\right)\left(1+7^y\right)=2^x\left(3^y+7^y+2\right) \]

2) Với \(x, y, z\) là những số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\[ M=\dfrac{x^{14}-x^6+3}{x^2 y^2+z x+z y}+\dfrac{y^{14}-y^6+3}{y^2 z^2+x y+x z}+\dfrac{z^{14}-z^6+3}{z^2 x^2+y z+y x} \]

1) Tìm tất cả các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn đẳng thức

\[ 25 y^2+354 x+60=36 x^2+305 y+(5 y-6 x)^{2022} \]

2) Trên bàn có 8 hộp rỗng (trong các hộp không có viên bi nào). Người ta thực hiện các lần thêm bi vào các hộp theo qui tắc sau: mỗi lần ta chọn ra 4 hộp bất kỳ và bỏ vào một hộp 1 viên, một hộp 2 viên, hai hộp còn lại mỗi hộp 3 viên. Hỏi số lần thêm bi ít nhất có thể để nhận được số bi ở 8 hộp trên là 8 số tự nhiên liên tiếp?

1) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \((x, y)\) thỏa mãn đẳng thức

\[ (x+y)(5 x+y)^3+x y^3=(5 x+y)^3+x^2 y^3+x y^4 \]

2) Với \(a, b, c\) là những số thực dương thỏa mãn các điều kiện sau:

\[ \left\{\begin{array}{cc} c \leq b<\mathrm{a} \leq 3, \quad b^2+2 a \leq 10, \quad b^2+2 a+2 c \leq 14, \\ \left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)+4 a b \leq 2 a^3+2 b^3+2 a+2 b . \end{array}\right. \]

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\[ P=4 a^2+b^4+2 b^2+4 c^2 \]

a) Tìm tất cả các số nguyên tố \(p, q, r\) sao cho \(p q-6, q r+1, r p+10\) đều là các số chính phương.

b) Cho \(n \geq 3\) điểm trong mặt phẳng, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng trong \(n\) điểm này, tồn tại ba điểm sao cho đường tròn ngoại tiếp đi qua ba điểm này chứa tất cả các điểm đã cho.