Toán 9 - Số học

1) Cho \(a, b, c\) là các số nguyên khác 0 thỏa mãn \[ \frac{1}{a}-\frac{1}{2 b}=\frac{1}{3 c} \] Chứng minh \(a^2+4 b^2+9 c^2\) là số chính phương.
2) Cho ba số không âm \(a, b, c\) thỏa mãn \(a+b+c=2\). Chứng minh \(a+b \geq 4 a b c\).

a) Tìm các cặp nghiệm nguyên \((x, y)\) thỏa mãn \(x^2(y-1)+y^2(x-1)=1\)
b) Cho \(a, b, c\) là các số nguyên dương lẻ sao cho \(a\) không là số chính phương và \(a^2+a+1=3\left(b^2+b+1\right)\left(c^2+c+1\right)\). Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai số \(b^2+b+1\) và \(c^2+c+1\) là hợp số.

1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n > 3\) thì \(A = n^3 - n^2 - n - 2\) không phải là số nguyên tố.

2) Cho \(x, y\) là các số nguyên thỏa mãn \(3xy(x - y) + 1\) chia hết cho 3. Chứng minh \(x + y\) chia hết cho 3. 

3) Tìm tất cả các số nguyên \(x, y\) thỏa mãn phương trình: \[ 6x^2 - xy - 2y^2 + 4x + 2y - 7 = 0. \]

a) Tìm số nguyên dương \(n\) để \(n^{2027}+n^{2026}+1\) là số nguyên tố.

b) Có bao nhiêu số tự nhiên \(n\) không vượt quá 2025 sao cho \(n^3+2025\) chia hết cho 6 .

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên \(n\) chẵn thì \(n^3 + 20n + 96\) chia hết cho 48. 

b) Cho ba số dương \(x, y, z\) thỏa mãn \(x + y + z = 6\). Chứng minh rằng: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq \frac{4}{9}z. \]

Cho số tự nhiên \(n>1\), và số \(M=\overline{4 a b 9}\). Chứng minh rằng, nếu \(M\) là số chính phương, thì số

\[ N=\overline{4 \underbrace{a \ldots a}_{n \text { chứ số } a} \underbrace{b \ldots b}_{n \text { chứ số } b}} \]

cũng là một số chính phương.

Cho số nguyên \(n \geq 5\). Đặt

\[ \begin{gathered} A_n=(n-1)!+\frac{n!}{1!}+\frac{(n+1)!}{2!}+ \\ \cdots+\frac{(2 n-1)!}{n!} \end{gathered} \]

và

\[ B_n=(n+5)(n+6) \cdots(2 n) \].

Chứng minh rằng 

\[ \frac{n A_n+B_n}{B_n} \] 

là một số chính phương.

Tìm tất cả các cặp số nguyên tố \((p, q)\) sao cho \(p!+p^2+q!+q^2+68\) cũng là số nguyên tố.

Biết rằng số Mersenne \(M_{179}=2^{179}-1\) có hai ước nguyên tố không vượt quá 2024. Hãy tìm hai ước nguyên tố đó.

Cho số nguyên \(n \geq 4\), và cho một đa giác lồi có \(n\) đỉnh. Tại mỗi đỉnh của đa giác, người ta ghi một số tự nhiên, trong phạm vi từ 1 đến \(n\), sao cho tại hai đỉnh khác nhau được ghi hai số khác nhau. Hai đỉnh không kề nhau được gọi là một cặp tốt, nếu chúng chia chu vi của đa giác thành hai đường gấp khúc, mà ít nhất một trong hai đường ấy có tính chất: hai số được ghi ở hai đầu mút nhỏ hơn tất cả các số được ghi tại các đỉnh còn lại của nó. Kí hiệu \(f(n)\) là số các cặp tốt. Hãy xác định tất cả các giá trị có thể của \(f(n)\).

a) Năm 2024, số tuổi và năm sinh của thầy giáo A có tỉ số giữa bội chung nhỏ nhất và ước chung lớn nhất là 87. Hãy tính xem thầy giáo \(A\) sinh năm nào?

b) Tìm hai số nguyên tố \(p, q(p \gt q)\) thỏa mãn điều kiện: \(5 p-1 \vdots q\) và \(5 q-1 \vdots p\).

Số nghiệm nguyên của phương trình: \(x^{2}-2 y(x-y)=2(x+1)\).

Có bao nhiêu số tự nhiên \(n\) để \(A=n^{2}+n+6\) là số chính phương

Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình:

\[(2 x-y-2)^2=7\left(x-2 y-y^2-1\right) \]

Cho số tự nhiên \(n \geq 2\) và số nguyên tố \(p\). Chứng minh rằng nếu \(p-1\) chia hết cho \(n\) và \(n^6-1\) chia hết cho \(p\) thì ít nhất một trong hai số \(p-n\) và \(p+n\) là số chính phương.

Số cặp số tự nhiên \((n, k)\) sao cho \(\mathrm{n}^4+4^{2 \mathrm{k}+1}\) là số nguyên tố là:

1) Tồn tại hay không các số nguyên \(a, b, c\) không đồng thời bằng 0 , có tổng bằng 0 , thỏa mãn tổng lũy thừa bậc 17 của ba số là một số chính phương?

2) Tồn tại hay không các số nguyên \(a, b, c\) không đồng thời bằng 0 , có tổng bằng 0 , thỏa mãn là một số chính phương?

Tìm các cặp số nguyên dương \((x, y)\) sao cho \(x^2 y+x+y\) chia hết cho \(x y^2+y+7\).

1. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương \((x ; y ; z)\) thóa mãn phương trình sau: \(x^3+y^3+x^2(3 y+2 z) +y^2(3 x+2 z) +z^2(x+y)+4 x y z=2023\)

2. Trên mặt phẳng cho \(2 \times 2024\) điểm phân biệt, trong đó không có bất kỳ 3 điểm nào thẳng hàng. Nguời ta tô 2024 điểm trong các điểm đã cho bằng màu đỏ và tô 2024 điểm còn lại bằng màu xanh. Chứng minh rằng, bao giờ cũng tồn tại một cách nối tất cả các điểm màu đỏ với tất cả các điểm màu xanh bởi 2024 đoạn thẳng (mỗi đoạn thẳng có hai điểm đầu mút là một cặp điểm đỏ xanh) sao cho hai đoạn thẳng bất kỳ trong đó không có điểm chung.

1. Cho ba số nguyên \(a, b\) và \(c\) thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2-2 a b c\) chia hết cho 6. Chứng minh abc chia hết cho 54.

2. Tìm tất cả cặp số nguyên dương \((x, y)\) thỏa mãn \(x^3 y-x^2 y-4 x^2+5 x y-y^2=0\).

1. Tìm tất cả cặp số nguyên \((x, y)\) sao cho \(x y\) là số chính phuơng và \(x^2+x y+y^2\) là số nguyên tố.

2. Với các số thực không âm \(a, b\) và \(c\) thỏa mãn \(a+2 b+3 c=1\), tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[P=(a+6 b+6 c)(a+b+c)\]

a) Cho các số nguyên dưong \(a, x, y, z \gt 1\) thỏa mãn \(a x y+1\) chia hêt cho \(z\), \(a y z+1\) chia hêt cho \(x\) và \(a z x+1\) chia hết cho \(y\). Chứng minh rằng

\[a \geq \dfrac{x y z-1}{x y+y z+z x}\]

b) Tìm tất cả các số nguyên dương \(n\) thỏa mãn trong hệ thập phân, tất cả các chữ số của \(2^n+1\) đều bằng nhau.

a) Xét các số nguyên dương \(a, m, n\) thoả mãn \(6^n+1=a^m\). Chứng minh rằng \(m=1\).

b) Cho \(n\) đống sỏi chứa \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) viên sỏi với \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) là các số nguyên dương. An và Bình chơi một trò chơi theo lượt, An đi trước. Trong lượt của mình thì người chơi chọn một trong hai nước chơi:

- Bỏ 1 viên sỏi ra khỏi tất cả các đống sỏi

- Chọn một đống sỏi bất kỳ và chia đống sỏi này ra thành hai đống sỏi nhỏ hơn sao cho mỗi đống sỏi có ít nhất một viên sỏi

Không được đi một nước tạo ra đống sỏi rỗng. Ai không thực hiện được hành động nào trong lượt của mình là người thua cuộc.

i) Nếu ban đầu có 7 đống sỏi, mỗi đống sỏi có 7 viên, hỏi ai có chiến thuật thắng?

ii) Nếu ban đầu có 2025 đống sỏi, mỗi đống sỏi có 15 viên sỏi, hỏi ai có chiến thuật thắng?

a) Tìm tất cả các số nguyên \(n\) sao cho

\[(n+3)\left(n^2+3 n+3\right)\]

là tích của ba số nguyên tố \(p \gt q \gt r\) thỏa mãn \(p-r=6\).

b) Cho số nguyên dương \(n\) và số nguyên tố \(p \ne n\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

i) \(\dfrac{p+1}{2}\) cũng là số nguyên số

ii) \(p+n^2\) là ước của \(p^2+n\)

Chứng minh rằng \(p-1\) là số chính phương. 

a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

\[1!+2!+\ldots+(x+1)!=y^{x+1}\]

b) An và Bình chơi một trò chơi. Ban đầu, có 5000 viên đá trong một đống, và hai người chơi lần lượt lấy đá ra bằng cách thực hiện các lượt chơi. Ở lượt thứ \(k\), người chơi có thể lấy bất kỳ số lượng đá nào từ 1 đến \(k\) (bao gồm cả 1 và \(k\)). An thực hiện các lượt đi lẻ, và Bình thực hiện các lượt đi chẵn. Người chơi lấy viên đá cuối cùng sẽ thắng. Ai sẽ thắng nếu cả hai chơi hoàn hảo?