Toán 9 - Bất đẳng thức

1. Cho \(a, b\) là các số thực thỏa mãn \(a+b+a b=8\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=a^2+b^2\).

2. Với \(a, b, c>0,3 b c-a c-a b=1\). Chứng minh rằng \(a^3 b^3 c^3+b^3+c^3 \geq 3 b^3 c^3\).

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên \(n\) chẵn thì \(n^3 + 20n + 96\) chia hết cho 48. 

b) Cho ba số dương \(x, y, z\) thỏa mãn \(x + y + z = 6\). Chứng minh rằng: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq \frac{4}{9}z. \]

Cho các số dương \(a, b, c\) thay đối và thóa mãn \(a+b+c=2022\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[ \begin{aligned} M=\sqrt{2 a^2+a b+2 b^2} & +\sqrt{2 b^2+b c+2 c^2} \\ & +\sqrt{2 c^2+c a+2 a^2} . \end{aligned} \]

Cho các số thực \(a, b, c\) sao cho phương trình \(a x^2+b x+c+2022=0\) nhận \(x=1\) là nghiệm. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[ \begin{aligned} & P=\sqrt{3 a^2-2 a b+3 b^2}+\sqrt{5 b^2-6 b c+5 c^2} \\ &+\sqrt{6 c^2-8 c a+6 a^2} \end{aligned} \]

Cho \(x, y\) là càc số dương thỏa mãn \(x+y+z=\sqrt{2}\). Chứng minh

\[ \begin{aligned} & \sqrt{2019 x^2+2 x y+2019 y^2}+\sqrt{2019 y^2+2 y z+2019 z^2} \\ &+\sqrt{2019 z^2+2 z x+2019 x^2} \geq 2 \sqrt{2020} . \end{aligned} \]

Cho ba số thực dương \(a, b, c\) và \(k \geq 1\). Chứng minh rằng

\[ \frac{\sqrt{a^2-a b+b^2}}{a+b+k c}+\frac{\sqrt{b^2-b c+c^2}}{b+c+k a}+\frac{\sqrt{c^2-c a+a^2}}{c+a+k b} \geq \frac{3}{2+k}\]

Cho \(a, b, c\) là ba số thực dương thỏa mãn

\[ \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} \geq \frac{3}{2} \]

Chứng minh rằng

\[ \begin{aligned} & \frac{b}{\sqrt{3 a^2-4 a b+3 b^2}}+\frac{c}{\sqrt{3 b^2-4 b c+3 c^2}} \\ &+\frac{a}{\sqrt{3 c^2-4 c a+3 a^2}} \end{aligned} \]

Cho \(a, b, c\) là ba số thực dương. Chứng minh rằng

\[ \begin{aligned} & \sqrt{\frac{a b}{\sqrt{\left(b^2+b c+c^2\right)\left(c^2-c a+a^2\right)}}} \\ & \quad+\sqrt{\frac{b c}{\sqrt{\left(c^2+c a+a^2\right)\left(a^2-a b+b^2\right)}}} \\ & \quad+\sqrt{\frac{c a}{\sqrt{\left(a^2+a b+b^2\right)\left(b^2-b c+c^2\right)}}} \leq \sqrt[4]{27} . \end{aligned} \]

Cho \(a, b, c\) là các số thực dương. Chứng minh rằng

\[ \frac{a^2}{a^2+3 a b+2 b^2}+\frac{b^2}{b^2+3 b c+2 c^2}+\frac{c^2}{c^2+3 c a+2 a^2} \geq \frac{1}{2} \]

Cho \(a, b, c\) là các số thực dương. Chứng minh rằng

\[ \frac{a^2}{a^2+3 a b+2 b^2}+\frac{b^2}{b^2+3 b c+2 c^2}+\frac{c^2}{c^2+3 c a+2 a^2} \geq \frac{1}{2} \]

Cho \(a, b, c\) là ba số thực dương. Chứng minh rằng: 

\[ \frac{a^3}{4 a^2 b+4 a b^2+b^3}+\frac{b^3}{4 b^2 c+4 b c^2+c^3} +\frac{c^3}{4 c^2 a+4 c a^2+a^3} \geq \frac{1}{3} \]

Cho \(a, b, c\) là ba số thực dương. Chứng minh rằng

\[ \frac{a}{\sqrt{3 a^{2}-4 a b+3 b^{2}}}+\frac{b}{\sqrt{3 b^{2}-4 b c+3 c^{2}}} +\frac{c}{\sqrt{3 c^{2}-4 c a+3 a^{2}}}<2 \sqrt{2} \]

Cho \(a, b, c\) là ba số thực dương. Chứng minh rằng:

\[ \begin{aligned} \frac{a^{2}}{2 a^{2}+7 a b+2 b^{2}}+\frac{b^{2}}{2 b^{2}+7 b c+2 c^{2}} \\ +\frac{c^{2}}{2 c^{2}+7 c a+2 a^{2}} \geq \frac{3}{11} \end{aligned} \]

Cho \(a, b, c\) là các số thực dương. Chứng minh rằng:

\[ \begin{aligned} \frac{a^{5}}{b^{2} \sqrt{\left(a^{2}+3 a b+b^{2}\right)^{3}}} & +\frac{b^{5}}{c^{2} \sqrt{\left(b^{2}+3 b c+c^{2}\right)^{3}}} \\ & +\frac{c^{5}}{a^{2} \sqrt{\left(c^{2}+3 c a+a^{2}\right)^{3}}} \end{aligned} \frac{3}{5 \sqrt{5}} \]

Cho \(a, b, c\) là ba số thực dương và \(0<2 k<1\). Chứng minh rằng:

\[ \begin{gathered} \frac{a^{5}}{b^{2} \sqrt{\left(k a^{2}+t a b+k b^{2}\right)^{3}}}+\frac{b^{5}}{c^{2} \sqrt{\left(k b^{2}+t b c+k c^{2}\right)}} \\ +\frac{c^{3}}{a^{2} \sqrt{\left(k c^{2}+t c a+k a^{2}\right)^{3}}} \geq \frac{3}{(2 k+t) \sqrt{2 k+t}} . \end{gathered} \]

Cho ba số thực dương \(a, b, c\) thỏa mãn \(a^{4}+b^{4}+c^{4}=3\). Chứng minh rằng

\[ \begin{aligned} & \frac{a b}{\sqrt{3 a^{2}+2 a b+3 b^{2}}}+\frac{b c}{\sqrt{3 b^{2}+2 b c+3 c^{2}}} \\ &+\frac{c a}{\sqrt{3 c^{2}+2 c a+3 a^{2}}} \end{aligned} \frac{3}{8} \]

Cho ba số thực dương \(a, b, c\) thỏa mãn \(a^{4}+b^{4}+c^{4}=3\). Chứng minh rằng

\[ \frac{a b}{\sqrt{a^{2}-a b+b^{2}}}+\frac{b c}{\sqrt{b^{2}-b c+c^{2}}}+\frac{c a}{\sqrt{c^{2}-c a+a^{2}}} \leq 3 \]

Cho ba số thực dương \(a, b, c\) thỏa mãn \(a^{4}+b^{4}+c^{4}=3\). Chứng minh rằng

\[ \begin{aligned} & \frac{a b}{\sqrt{2 a^{2}-3 a b+2 b^{2}}}+\frac{b c}{\sqrt{2 b^{2}-3 b c+2 c^{2}}} \\ &+\frac{c a}{\sqrt{2 c^{2}-3 c a+2 a^{2}}} \end{aligned} \]

Cho ba số thực dương \(a, b, c\) thỏa mãn \(a^{3}+b^{3}+c^{3}=3\). Chứng minh rằng

\[ \begin{aligned} \frac{a b}{\sqrt{2 a^{2}+3 a b+2 b^{2}}}+ & \frac{b c}{\sqrt{2 b^{2}+3 b c+2 c^{2}}} \\ & +\frac{c a}{\sqrt{2 c^{2}+3 c a+2 a^{2}}} \leq \frac{3}{\sqrt{7}} \end{aligned} \]

Cho \(a, b, c\) là ba số thực dương. Chứng minh rằng

\[ \begin{aligned} & \frac{a^{2}}{2 a^{2}+5 a b+2 b^{2}}+\frac{b^{2}}{2 b^{2}+5 b c+2 c^{2}} \\ &+\frac{c^{2}}{2 c^{2}+5 c a+2 a^{2}} \geq \frac{1}{3} \end{aligned} \]

Cho \(a, b, c, k, t\) là các số thực dương tùy ý thỏa mãn \(t \geq k\). Chứng minh rằng

\[ \begin{aligned} & \frac{a^{2}}{k a^{2}+t a b+k b^{2}}+\frac{b^{2}}{k b^{2}+t b c+k c^{2}} \\ &+\frac{c^{2}}{k c^{2}+t c a+k a^{2}} \geq \frac{3}{2 k+t} \end{aligned} \]

Cho \(a, b, c, t, k, r\) là các số thực dương tùy ý thỏa mãn \(t \geq k \geq r\). Chứng minh rằng

\[ \begin{aligned} \frac{a^{2}}{r a^{2}+t a b+k b^{2}}+ & \frac{b^{2}}{r b^{2}+t b c+k c^{2}} \\ & \quad+\frac{c^{2}}{r c^{2}+t c a+k a^{2}} \geq \frac{3}{r+t+k} \end{aligned} \]

Cho \(a, b, c\) là các số thực dương. Chứng minh rằng 

\[ \frac{a^{5}}{b^{2} \sqrt{\left(a^{2}+5 a b+b^{2}\right)^{3}}}+\frac{b^{5}}{c^{2} \sqrt{\left(b^{2}+5 b c+c^{2}\right)^{3}}} +\frac{c^{5}}{a^{2} \sqrt{\left(c^{2}+5 c a+a^{2}\right)^{3}}} \geq \frac{3}{7 \sqrt{7}} \]

Cho các số thực không âm \(a, b, c\) thỏa mãn \(a+b+c=4\). Chứng minh rằng

\[ \sqrt{2 a+\frac{(b-c)^2}{8}}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \leq 4 \]

Xét dãy số \(\left(x_n\right)\) xác định bởi 

\[ x_1=\frac{3}{2}\]

và 

\[ x_{n+1}=1+x_n-\frac{1}{2} x_n^2\]

với mọi \(n \geq 1\). Tìm tất cả các số thực \(a\) sao cho bất đẳng thức

\[ \sum_{k=1}^n \sqrt{x^2+x_k^2} \geq n \sqrt{x^2+a} \]

đúng với mọi số thực \(x\) và mọi số nguyên dương \(n\).

Từ một tấm nhôm hình chữ nhật có kích thước \(5 dm, 8 dm\) (bề dày không đáng kể). Người ta cắt bỏ bốn hình vuông ở bốn góc, mồi hình vuông bị cắt bỏ có độ đại cạnh là \(a dm\) (phần tô đậm là phần bị cắt bô) rồi gập lại đề được một hình hộp chữ nhật không có nắp (xem hình vê bên). Giá thị trường của loai hình hộp chữ nhật này được bán dựa trên thể tich chứa của khối hộp với mức giá 20 nghìn đồng/ \(\mathrm{dm}^3\). Hỏi giá trị a bằng bao nhiêu để có thể bán hình hộp chữ nhật nói trên với mức giá cao nhất, hãy tinh mức giá cao nhất đó?

Cho \(a,b,c \geq 0\) thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\). Chứng minh rằng:

\[ \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} +\frac{c^2}{a} + abc \geq 4\]

Cho \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\). Chứng minh rằng:

\[ \frac{a^4}{1+bc} +\frac{b^4}{1+ca} +\frac{c^4}{1+ab}  \geq \frac{a^2}{1+a^2} +  \frac{b^2}{1+b^2} + \frac{c^2}{1+c^2} \]

Cho \(a,b,c\) là các số thực dương, chứng minh rằng:

\[ \frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{c} + \frac{c^3}{a} +abc \geq 4\]

Cho \(a,b,c\) là các số thực không âm thỏa mãn \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng:

\[ P = \frac{1}{\sqrt{3+a^2}} + \frac{1}{\sqrt{3+b^2}} + \frac{1}{\sqrt{3+c^2}} \leq \frac{3}{2} \]

Cho \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng:

\[ \frac{bc}{\sqrt{a^2+3}} + \frac{ca}{\sqrt{b^2+3}} + \frac{ab}{\sqrt{c^2+3}} \leq \frac{3}{2} \]

Cho \(a, b, c\) là các số không âm thỏa mān: \(a^2+b^2+c^2=3\). Chứng minh

a) \(a+b+c \leq 3 \leq a^3+b^3+c^3\)

b) \(\sqrt{2 a^4+6 b^2+6 c^2-13}+\sqrt{2 b^4+6 c^2+6 a^2-13}+\sqrt{2 c^4+6 a^2+6 b^2-13} \geq 3\)

Cho \(a, b \geq 0\). Chứng minh rằng

\[\left(a^{2}+b+\frac{3}{4}\right)\left(b^{2}+a+\frac{3}{4}\right) \geq\left(2 a+\frac{1}{2}\right)\left(2 b+\frac{1}{2}\right)\]

Cho các số dương \(x, y, z\) thỏa mãn \(x+y+z=1\). Chứng minh rằng

\[\frac{x}{x+\sqrt{x+y z}}+\frac{y}{y+\sqrt{y+z x}}+\frac{z}{z+\sqrt{z+x y}} \leq 1\]

Cho \(a, b, c>0\). Chứng minh rằng

\[\frac{a(b+c)}{\sqrt{b c\left(b^{2}+c^{2}\right)}}+\frac{b(c+a)}{\sqrt{c a\left(c^{2}+a^{2}\right)}}+\frac{c(a+b)}{\sqrt{a b\left(a^{2}+b^{2}\right)}} \geq 3 \sqrt{2}\]

Cho \(a, b, c>0\) thoả mãn \(a b c=1\). Chứng minh rằng

\[\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+3 \geq 2(a+b+c)\]

Cho \(a \geq b \geq 1, a \leq 3, a b \leq 6, a b \leq 6 c\). Chứng minh rằng

\[a+b-c \leq 4\]

Cho \(a \geq b \geq 1, a \leq 3, a b \leq 6, a b \leq 6 c\). Chứng minh rằng

\[a+b-c \leq 4\]

Cho \(x, y, z>0\) thoả mãn \(x+y+z=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của

\[P=\frac{x^{2}(y+z)}{y z}+\frac{y^{2}(z+x)}{z x}+\frac{z^{2}(x+y)}{x y}\]

Bài 8. Cho \(a, b, c>0\) và \(a b+b c+c a=a+b+c\). Chứng minh rằng

\[\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b+c}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c+a}{c^{2}+a^{2}} \leq 3\]

Bài 9. Cho các số thực \(a, b, c \in[0,1]\) thỏa mãn điều kiện \(a+b+c=2\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau

\[P=\sqrt{a^{2}-4 a+5}+\sqrt{b^{2}-4 b+5}+\sqrt{c^{2}-4 c+5}\]

Cho \(a, b, c>0\) và \(a+b+c=a b c\). Chứng minh rằng

\[\frac{a}{b^{3}}+\frac{b}{c^{3}}+\frac{c}{a^{3}} \geq 1\]

Khi hệ \(\left\{\begin{array}{l}x^{2}+x y+y^{2}=3 \\ y^{2}+y z+z^{2}=16\end{array}\right.\) có nghiệm. Chứng minh rằng

\[x y+y z+z x \leq 8\]

Cho \(a, b, c>0\). Chứng minh rằng

\[\frac{a b^{2}}{c}+\frac{b c^{2}}{a}+\frac{c a^{2}}{b}+a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq 2 \sqrt{\left(a b^{3}+b c^{3}+c a^{3}\right)\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)}\]

Cho \(x, y, z \in[0,1]\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{4 x+5}+\dfrac{2}{4 y+5}+\dfrac{3}{4 z+5}=1\). Tìm giá trị lớn nhất của

\[P=x y^{2} z^{3}\]

Cho 4 số thực \(\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}\) thỏa mãn: \(a b c d>a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\). Chứng minh rằng

\[a b c d>a+b+c+d+8\]

Cho \(x, y, z\) là các số thực thỏa mãn \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=3\). Tìm giá trị lớn nhất của

\[P=x y+y z+2 z x\]

Cho \(x, y, z>0\) và \(x y z=8\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\[P=\frac{1}{2 x+y+6}+\frac{1}{2 y+z+6}+\frac{1}{2 z+x+6}\]

Cho \(x, y \neq 0, x y(x+y)=x^{2}+y^{2}-x y\). Tìm giá trị lớn nhất của

\[P=\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}\]

Cho \(a, b, c\) đôi một khác nhau và thuộc \([0 ; 2]\). Tìm giá trị nhỏ nhất của

\[P=\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}\]

Cho \(a, b, c\) là các số thực dương. Chứng minh rằng

\[\frac{a^{2}}{2 a^{2}+b c}+\frac{b^{2}}{2 b^{2}+a c}+\frac{c^{2}}{2 c^{2}+a b} \leq 1\]

Cho \(x, y \in \mathbb{R}\) thỏa mãn \(5 x^{2}+5 y^{2}-5 x-15 y+8 \leq 0\). Tìm giá trị nhỏ nhất của

\[S=x+3 y\]

Cho \(a, b, c>0\) thỏa mãn \(a b c+a+c=b\). Tìm giá trị lớn nhất của

\[P=\frac{2}{a^{2}+1}-\frac{2}{b^{2}+1}+\frac{3}{c^{2}+1}\]

Cho các số \(x, y, z\) thỏa mãn \(1 \leq x, y, z \leq 4\) và \(x \geq y, x \geq z\). Tìm GTNN của biểu thức

\[P=\frac{x}{2 x+3 y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{x+z}\]

Cho \(x \geq y \geq z>0\). Chứng minh rằng

\[\frac{x^{2} y}{z}+\frac{y^{2} z}{x}+\frac{z^{2} x}{y} \geq x^{2}+y^{2}+z^{2}\]

Cho \(a, b, c>0\). Chứng minh rằng:

\[\frac{a^{2}+b c}{b+c}+\frac{b^{2}+c a}{c+a}+\frac{c^{2}+a b}{a+b} \geq a+b+c\]

Cho \(a, b, c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c=1\). Chứng minh rằng

\[\sqrt{a^{2}+\frac{1}{a^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{c^{2}}} \geq \sqrt{82}\]

Cho các số dương \(x, y, z\) thỏa mãn \(x y z=1\). Chứng minh rằng

\[\frac{x^{4} y}{x^{2}+1}+\frac{y^{4} z}{y^{2}+1}+\frac{z^{4} x}{z^{2}+1} \geq \frac{3}{2}\]

Cho \(x, y, z\) là các số thực dương thỏa mãn: \(x y z(x+y+z)=3\). Chứng minh rằng: 

\[ x^2+y^2+z^2 \leq \frac{1}{243}\left(x^5-2 x+4\right)^2\left(y^5-2 y+4\right)^2\left(z^5-2 z+4\right)^2 \]

Với \(a, b, c\) là các số thực không âm, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thực

\[ P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}+\frac{4(a+b+c)}{25} \]

Bài \(7(259)\). Cho các số thực \(x, y, z\) thỏa mãn \(x y+y z+z x=x y z\). Chứng minh rằng

\[(x+y+z+1)^2+8 \geq 4 x y z\]

Cho biểu thức \(B=\sqrt{4 x-2 \sqrt{4 x-1}}+\sqrt{4 x+2 \sqrt{4 x-1}}\) với \(\dfrac{1}{4} \leq x \leq \dfrac{1}{2}\). Khẳng định đúng là:

Cho ba số dương \(a, b, c\) thỏa mãn \(a+b+c=1\) và \(a+b>c ; a+c>b ; b+c>a\).

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(M=\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{b+c}+\dfrac{4}{c+a}+\dfrac{a}{2 b c}+\dfrac{b}{2 c a}+\dfrac{c}{2 a b}-\dfrac{1}{2 a b c}\).

Cho \(a, b, c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a b c=1\). Chứng minh rằng:

\[\dfrac{1}{\sqrt{5+4a}}+\dfrac{1}{\sqrt{5+4b}}+\dfrac{1}{\sqrt{5+4c}} \leq 1\]

Cho \(a, b, c, p, q\) là các số thực dương thỏa mãn \(a b c=1 ; p+q=9 ; \dfrac{p}{q} \geq 1\). Chứng minh rằng:

\[ \frac{1}{\sqrt{p+q a}}+\frac{1}{\sqrt{p+q b}}+\frac{1}{\sqrt{p+q c}} \leq 1 \]

Cho \(x, y, z\) là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện \(x+y+z=x y z\).

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\[P=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+z^2}} \]

1. Tìm tất cả cặp số nguyên \((x, y)\) sao cho \(x y\) là số chính phuơng và \(x^2+x y+y^2\) là số nguyên tố.

2. Với các số thực không âm \(a, b\) và \(c\) thỏa mãn \(a+2 b+3 c=1\), tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[P=(a+6 b+6 c)(a+b+c)\]

a) Với \(x, y, z>0\) thỏa mãn \(x+y+z=x y+y z+z x\), tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức

\[P=\dfrac{x^3}{\sqrt{2\left(y^4+1\right)}}+\dfrac{y^3}{\sqrt{2\left(z^4+1\right)}}+\dfrac{z^3}{\sqrt{2\left(x^4+1\right)}}\]

b) Trong hệ thập phân, có bao nhiêu số tự nhiên \(n\) có 4 chữ số sao cho tổng các chữ số của \(n\) bằng tổng các chữ số của \(n+2007\).

a) Cho \(x,y,x\) là các số thực không âm và không đồng thời bằng 0. Đặt

\[P=\frac{x}{y+z}+2 \sqrt{\frac{y}{z+x}}+3\sqrt[3]{\frac{z}{x+y}}\]

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\).

b) Ba bạn Lãm, Mạnh, Toàn mỗi bạn viết lên bảng một số tự nhiên nhỏ hơn 32. Tính xác suất để tích ba số được viết lên bảng chia hết cho 4 nhưng không chia hết cho 16.