Với \(a, b, c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a + b + c = abc\). Chứng minh rằng: \[ \sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{b^2 + c^2} + \sqrt{c^2 + a^2} + 3\sqrt{6} \leq \sqrt{8abc}. \]
Lời giải| 1 cách giải | KiênĐC | Độ khó: 1
Bài tập Bất đẳng thức
Các bài toán chủ đề Bất đẳng thức
Bài T5/507: Cho các số thực \( x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0 \) thỏa mãn \( \max \{x, y, z\} \geq 1 \). Chứng minh rằng: \[ x^3 + y^3 + z^3 + (x + y + z - 1)^2 \geq 1 + 3xyz. \]
Lời giải| 1 cách giải | KiênĐC | Độ khó: 5
Với \( a, b, c \) là các số thực không âm. Chứng minh rằng: \[ 3 \left( a^2 - a + 1 \right) \left( b^2 - b + 1 \right) \left( c^2 - c + 1 \right) \geq 1 + abc + a^2 b^2 c^2. \]
Lời giải| 2 cách giải | KiênĐC | Độ khó: 1
Cho các số thực không âm \(a, b, c\) thỏa mãn \(\sqrt{a+1} + \sqrt{b+1} + \sqrt{c+1} = 4\). Chứng minh rằng: a) \(0 \leq a, b, c \leq 3\) b) \(a + b + c \leq 3\)
Lời giải| 1 cách giải | KiênĐC | Độ khó: 1
Cho \[ \begin{cases} a, b, c > 0; \quad a^2 + b^2 + c^2 + 2abc = 1 \\ \text{Max } P = a + b + c \end{cases} \]
Lời giải| 5 cách giải | KiênĐC | Độ khó: 2
Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn: \[ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = 5. \] Chứng minh rằng: \[ 15 \left( \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{c^2} + \frac{c^2}{a^2} \right) - 2 \left( \frac{a^3}{b^3} + \frac{b^3}{c^3} + \frac{c^3}{a^3} \right) = 119 \]
Lời giải| 1 cách giải | KiênĐC | Độ khó: 5
Với \(a, b, c\) là các số thực không âm thỏa mãn \(a + b + c = 1\). Chứng minh rằng: \[ a+b \geq 16abc \]
Lời giải| 0 cách giải | KiênĐC | Độ khó: 1
Với \(a, b, c\) là các số thực không âm thỏa mãn \(ab + bc + ca +abc = 4\). Chứng minh rằng: \[ ab+bc+ca \leq a+b+c \]
Lời giải| 0 cách giải | KiênĐC | Độ khó: 5
Cho \(a, b, c \in [1; 3]\) thỏa mãn: \(a + b + c = 5\). Tìm Max của: \[ B = \frac{a}{b^2 + 3} + \frac{b}{c^2 +3} + \frac{c}{a^2 + 3} \]
Lời giải| 1 cách giải | KiênĐC | Độ khó: 1
Cho \(a, b, c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c= 3\). Chứng minh rằng: \[ \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \geq ab+bc+ca \]
Lời giải| 1 cách giải | KiênĐC | Độ khó: 1
Cho \( x, y, z \) là ba số thực dương thỏa mãn \( xyz = 1 \). Chứng minh rằng: \[ \frac{x^3}{(1 + y)(1 + z)} + \frac{y^3}{(1 + z)(1 + x)} + \frac{z^3}{(1 + x)(1 + y)} \geq \frac{3}{4}. \]
Lời giải| 1 cách giải | KiênĐC | Độ khó: 1
Cho \( a, b, c \) là các số thực dương, chứng minh rằng \[ \left( 1 + \frac{x}{y} \right) \left( 1 + \frac{y}{z} \right) \left( 1 + \frac{z}{x} \right) \geq 2 + \frac{2(x + y + z)}{\sqrt[3]{xyz}}. \]
Lời giải| 1 cách giải | KiênĐC | Độ khó: 3
Cho \(a, b, c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a + b + c = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[ P = \frac{bc}{a^2(b+c)} + \frac{ca}{b^2(c+a)} + \frac{ab}{c^2(a+b)} - \left( \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \right) \]
Lời giải| 1 cách giải | KiênĐC | Độ khó: 3
Cho các số thực dương \(a, b, c\) thỏa mãn \(abc = 2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[ P = \frac{a^5}{\sqrt{b+c}} + \frac{b^5}{\sqrt{c+a}} + \frac{c^5}{\sqrt{a+b}}. \]
Lời giải| 2 cách giải | KiênĐC | Độ khó: 3
Cho \(a, b, c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: \[ a^2b^2c^2 \geq \frac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b)(b+c)(c+a)}{8}. \]
Lời giải| 3 cách giải | KiênĐC | Độ khó: 4
Với \(x, y, z\) là các số thực dương thỏa mãn \(x^2 + y^2 + z^2 = 3\), tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \[ P = \frac{(y+z)^2}{x^5 - x + 8} + \frac{(z+x)^2}{y^5 - y + 8} + \frac{(x+y)^2}{z^5 - z + 8}. \]
Lời giải| 1 cách giải | KiênĐC | Độ khó: 4