Toán 9 - Bất đẳng thức

Với \(a, b, c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a + b + c = abc\). Chứng minh rằng:

\[ \sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{b^2 + c^2} + \sqrt{c^2 + a^2} + 3\sqrt{6} \leq \sqrt{8abc}. \]

1. Cho \(a, b\) là các số thực thỏa mãn \(a+b+a b=8\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=a^2+b^2\).

2. Với \(a, b, c>0,3 b c-a c-a b=1\). Chứng minh rằng \(a^3 b^3 c^3+b^3+c^3 \geq 3 b^3 c^3\).

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên \(n\) chẵn thì \(n^3 + 20n + 96\) chia hết cho 48. 

b) Cho ba số dương \(x, y, z\) thỏa mãn \(x + y + z = 6\). Chứng minh rằng: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq \frac{4}{9}z. \]

Cho các số dương \(a, b, c\) thay đối và thóa mãn \(a+b+c=2022\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[ \begin{aligned} M=\sqrt{2 a^2+a b+2 b^2} & +\sqrt{2 b^2+b c+2 c^2} \\ & +\sqrt{2 c^2+c a+2 a^2} . \end{aligned} \]

Cho các số thực \(a, b, c\) sao cho phương trình \(a x^2+b x+c+2022=0\) nhận \(x=1\) là nghiệm. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[ \begin{aligned} & P=\sqrt{3 a^2-2 a b+3 b^2}+\sqrt{5 b^2-6 b c+5 c^2} \\ &+\sqrt{6 c^2-8 c a+6 a^2} \end{aligned} \]

Cho \(x, y\) là càc số dương thỏa mãn \(x+y+z=\sqrt{2}\). Chứng minh

\[ \begin{aligned} & \sqrt{2019 x^2+2 x y+2019 y^2}+\sqrt{2019 y^2+2 y z+2019 z^2} \\ &+\sqrt{2019 z^2+2 z x+2019 x^2} \geq 2 \sqrt{2020} . \end{aligned} \]

Cho ba số thực dương \(a, b, c\) và \(k \geq 1\). Chứng minh rằng

\[ \frac{\sqrt{a^2-a b+b^2}}{a+b+k c}+\frac{\sqrt{b^2-b c+c^2}}{b+c+k a}+\frac{\sqrt{c^2-c a+a^2}}{c+a+k b} \geq \frac{3}{2+k}\]

Cho \(a, b, c\) là ba số thực dương thỏa mãn

\[ \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} \geq \frac{3}{2} \]

Chứng minh rằng

\[ \begin{aligned} & \frac{b}{\sqrt{3 a^2-4 a b+3 b^2}}+\frac{c}{\sqrt{3 b^2-4 b c+3 c^2}} \\ &+\frac{a}{\sqrt{3 c^2-4 c a+3 a^2}} \end{aligned} \]

Cho \(a, b, c\) là ba số thực dương. Chứng minh rằng

\[ \begin{aligned} & \sqrt{\frac{a b}{\sqrt{\left(b^2+b c+c^2\right)\left(c^2-c a+a^2\right)}}} \\ & \quad+\sqrt{\frac{b c}{\sqrt{\left(c^2+c a+a^2\right)\left(a^2-a b+b^2\right)}}} \\ & \quad+\sqrt{\frac{c a}{\sqrt{\left(a^2+a b+b^2\right)\left(b^2-b c+c^2\right)}}} \leq \sqrt[4]{27} . \end{aligned} \]

Cho \(a, b, c\) là các số thực dương. Chứng minh rằng

\[ \frac{a^2}{a^2+3 a b+2 b^2}+\frac{b^2}{b^2+3 b c+2 c^2}+\frac{c^2}{c^2+3 c a+2 a^2} \geq \frac{1}{2} \]

Cho \(a, b, c\) là các số thực dương. Chứng minh rằng

\[ \frac{a^2}{a^2+3 a b+2 b^2}+\frac{b^2}{b^2+3 b c+2 c^2}+\frac{c^2}{c^2+3 c a+2 a^2} \geq \frac{1}{2} \]

Cho \(a, b, c\) là ba số thực dương. Chứng minh rằng: 

\[ \frac{a^3}{4 a^2 b+4 a b^2+b^3}+\frac{b^3}{4 b^2 c+4 b c^2+c^3} +\frac{c^3}{4 c^2 a+4 c a^2+a^3} \geq \frac{1}{3} \]

Cho \(a, b, c\) là ba số thực dương. Chứng minh rằng

\[ \frac{a}{\sqrt{3 a^{2}-4 a b+3 b^{2}}}+\frac{b}{\sqrt{3 b^{2}-4 b c+3 c^{2}}} +\frac{c}{\sqrt{3 c^{2}-4 c a+3 a^{2}}}<2 \sqrt{2} \]

Cho \(a, b, c\) là ba số thực dương. Chứng minh rằng:

\[ \begin{aligned} \frac{a^{2}}{2 a^{2}+7 a b+2 b^{2}}+\frac{b^{2}}{2 b^{2}+7 b c+2 c^{2}} \\ +\frac{c^{2}}{2 c^{2}+7 c a+2 a^{2}} \geq \frac{3}{11} \end{aligned} \]

Cho \(a, b, c\) là các số thực dương. Chứng minh rằng:

\[ \begin{aligned} \frac{a^{5}}{b^{2} \sqrt{\left(a^{2}+3 a b+b^{2}\right)^{3}}} & +\frac{b^{5}}{c^{2} \sqrt{\left(b^{2}+3 b c+c^{2}\right)^{3}}} \\ & +\frac{c^{5}}{a^{2} \sqrt{\left(c^{2}+3 c a+a^{2}\right)^{3}}} \end{aligned} \frac{3}{5 \sqrt{5}} \]

Cho \(a, b, c\) là ba số thực dương và \(0<2 k<1\). Chứng minh rằng:

\[ \begin{gathered} \frac{a^{5}}{b^{2} \sqrt{\left(k a^{2}+t a b+k b^{2}\right)^{3}}}+\frac{b^{5}}{c^{2} \sqrt{\left(k b^{2}+t b c+k c^{2}\right)}} \\ +\frac{c^{3}}{a^{2} \sqrt{\left(k c^{2}+t c a+k a^{2}\right)^{3}}} \geq \frac{3}{(2 k+t) \sqrt{2 k+t}} . \end{gathered} \]

Cho ba số thực dương \(a, b, c\) thỏa mãn \(a^{4}+b^{4}+c^{4}=3\). Chứng minh rằng

\[ \begin{aligned} & \frac{a b}{\sqrt{3 a^{2}+2 a b+3 b^{2}}}+\frac{b c}{\sqrt{3 b^{2}+2 b c+3 c^{2}}} \\ &+\frac{c a}{\sqrt{3 c^{2}+2 c a+3 a^{2}}} \end{aligned} \frac{3}{8} \]

Cho ba số thực dương \(a, b, c\) thỏa mãn \(a^{4}+b^{4}+c^{4}=3\). Chứng minh rằng

\[ \frac{a b}{\sqrt{a^{2}-a b+b^{2}}}+\frac{b c}{\sqrt{b^{2}-b c+c^{2}}}+\frac{c a}{\sqrt{c^{2}-c a+a^{2}}} \leq 3 \]

Cho ba số thực dương \(a, b, c\) thỏa mãn \(a^{4}+b^{4}+c^{4}=3\). Chứng minh rằng

\[ \begin{aligned} & \frac{a b}{\sqrt{2 a^{2}-3 a b+2 b^{2}}}+\frac{b c}{\sqrt{2 b^{2}-3 b c+2 c^{2}}} \\ &+\frac{c a}{\sqrt{2 c^{2}-3 c a+2 a^{2}}} \end{aligned} \]

Cho ba số thực dương \(a, b, c\) thỏa mãn \(a^{3}+b^{3}+c^{3}=3\). Chứng minh rằng

\[ \begin{aligned} \frac{a b}{\sqrt{2 a^{2}+3 a b+2 b^{2}}}+ & \frac{b c}{\sqrt{2 b^{2}+3 b c+2 c^{2}}} \\ & +\frac{c a}{\sqrt{2 c^{2}+3 c a+2 a^{2}}} \leq \frac{3}{\sqrt{7}} \end{aligned} \]

Cho \(a, b, c\) là ba số thực dương. Chứng minh rằng

\[ \begin{aligned} & \frac{a^{2}}{2 a^{2}+5 a b+2 b^{2}}+\frac{b^{2}}{2 b^{2}+5 b c+2 c^{2}} \\ &+\frac{c^{2}}{2 c^{2}+5 c a+2 a^{2}} \geq \frac{1}{3} \end{aligned} \]

Cho \(a, b, c, k, t\) là các số thực dương tùy ý thỏa mãn \(t \geq k\). Chứng minh rằng

\[ \begin{aligned} & \frac{a^{2}}{k a^{2}+t a b+k b^{2}}+\frac{b^{2}}{k b^{2}+t b c+k c^{2}} \\ &+\frac{c^{2}}{k c^{2}+t c a+k a^{2}} \geq \frac{3}{2 k+t} \end{aligned} \]

Cho \(a, b, c, t, k, r\) là các số thực dương tùy ý thỏa mãn \(t \geq k \geq r\). Chứng minh rằng

\[ \begin{aligned} \frac{a^{2}}{r a^{2}+t a b+k b^{2}}+ & \frac{b^{2}}{r b^{2}+t b c+k c^{2}} \\ & \quad+\frac{c^{2}}{r c^{2}+t c a+k a^{2}} \geq \frac{3}{r+t+k} \end{aligned} \]

Cho \(a, b, c\) là các số thực dương. Chứng minh rằng 

\[ \frac{a^{5}}{b^{2} \sqrt{\left(a^{2}+5 a b+b^{2}\right)^{3}}}+\frac{b^{5}}{c^{2} \sqrt{\left(b^{2}+5 b c+c^{2}\right)^{3}}} +\frac{c^{5}}{a^{2} \sqrt{\left(c^{2}+5 c a+a^{2}\right)^{3}}} \geq \frac{3}{7 \sqrt{7}} \]

Cho các số thực không âm \(a, b, c\) thỏa mãn \(a+b+c=4\). Chứng minh rằng

\[ \sqrt{2 a+\frac{(b-c)^2}{8}}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \leq 4 \]

Xét dãy số \(\left(x_n\right)\) xác định bởi 

\[ x_1=\frac{3}{2}\]

và 

\[ x_{n+1}=1+x_n-\frac{1}{2} x_n^2\]

với mọi \(n \geq 1\). Tìm tất cả các số thực \(a\) sao cho bất đẳng thức

\[ \sum_{k=1}^n \sqrt{x^2+x_k^2} \geq n \sqrt{x^2+a} \]

đúng với mọi số thực \(x\) và mọi số nguyên dương \(n\).

Từ một tấm nhôm hình chữ nhật có kích thước \(5 dm, 8 dm\) (bề dày không đáng kể). Người ta cắt bỏ bốn hình vuông ở bốn góc, mồi hình vuông bị cắt bỏ có độ đại cạnh là \(a dm\) (phần tô đậm là phần bị cắt bô) rồi gập lại đề được một hình hộp chữ nhật không có nắp (xem hình vê bên). Giá thị trường của loai hình hộp chữ nhật này được bán dựa trên thể tich chứa của khối hộp với mức giá 20 nghìn đồng/ \(\mathrm{dm}^3\). Hỏi giá trị a bằng bao nhiêu để có thể bán hình hộp chữ nhật nói trên với mức giá cao nhất, hãy tinh mức giá cao nhất đó?

Cho \(a,b,c \geq 0\) thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\). Chứng minh rằng:

\[ \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} +\frac{c^2}{a} + abc \geq 4\]

Cho \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\). Chứng minh rằng:

\[ \frac{a^4}{1+bc} +\frac{b^4}{1+ca} +\frac{c^4}{1+ab}  \geq \frac{a^2}{1+a^2} +  \frac{b^2}{1+b^2} + \frac{c^2}{1+c^2} \]

Cho \(a,b,c\) là các số thực dương, chứng minh rằng:

\[ \frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{c} + \frac{c^3}{a} +abc \geq 4\]

Cho \(a,b,c\) là các số thực không âm thỏa mãn \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng:

\[ P = \frac{1}{\sqrt{3+a^2}} + \frac{1}{\sqrt{3+b^2}} + \frac{1}{\sqrt{3+c^2}} \leq \frac{3}{2} \]

Cho \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng:

\[ \frac{bc}{\sqrt{a^2+3}} + \frac{ca}{\sqrt{b^2+3}} + \frac{ab}{\sqrt{c^2+3}} \leq \frac{3}{2} \]

Cho \(a, b, c\) là các số không âm thỏa mān: \(a^2+b^2+c^2=3\). Chứng minh

a) \(a+b+c \leq 3 \leq a^3+b^3+c^3\)

b) \(\sqrt{2 a^4+6 b^2+6 c^2-13}+\sqrt{2 b^4+6 c^2+6 a^2-13}+\sqrt{2 c^4+6 a^2+6 b^2-13} \geq 3\)

Cho \(a, b \geq 0\). Chứng minh rằng

\[\left(a^{2}+b+\frac{3}{4}\right)\left(b^{2}+a+\frac{3}{4}\right) \geq\left(2 a+\frac{1}{2}\right)\left(2 b+\frac{1}{2}\right)\]

Cho các số dương \(x, y, z\) thỏa mãn \(x+y+z=1\). Chứng minh rằng

\[\frac{x}{x+\sqrt{x+y z}}+\frac{y}{y+\sqrt{y+z x}}+\frac{z}{z+\sqrt{z+x y}} \leq 1\]

Cho \(a, b, c>0\). Chứng minh rằng

\[\frac{a(b+c)}{\sqrt{b c\left(b^{2}+c^{2}\right)}}+\frac{b(c+a)}{\sqrt{c a\left(c^{2}+a^{2}\right)}}+\frac{c(a+b)}{\sqrt{a b\left(a^{2}+b^{2}\right)}} \geq 3 \sqrt{2}\]

Cho \(a, b, c>0\) thoả mãn \(a b c=1\). Chứng minh rằng

\[\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+3 \geq 2(a+b+c)\]

Cho \(a \geq b \geq 1, a \leq 3, a b \leq 6, a b \leq 6 c\). Chứng minh rằng

\[a+b-c \leq 4\]

Cho \(a \geq b \geq 1, a \leq 3, a b \leq 6, a b \leq 6 c\). Chứng minh rằng

\[a+b-c \leq 4\]

Cho \(x, y, z>0\) thoả mãn \(x+y+z=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của

\[P=\frac{x^{2}(y+z)}{y z}+\frac{y^{2}(z+x)}{z x}+\frac{z^{2}(x+y)}{x y}\]

Bài 8. Cho \(a, b, c>0\) và \(a b+b c+c a=a+b+c\). Chứng minh rằng

\[\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b+c}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c+a}{c^{2}+a^{2}} \leq 3\]

Bài 9. Cho các số thực \(a, b, c \in[0,1]\) thỏa mãn điều kiện \(a+b+c=2\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau

\[P=\sqrt{a^{2}-4 a+5}+\sqrt{b^{2}-4 b+5}+\sqrt{c^{2}-4 c+5}\]

Cho \(a, b, c>0\) và \(a+b+c=a b c\). Chứng minh rằng

\[\frac{a}{b^{3}}+\frac{b}{c^{3}}+\frac{c}{a^{3}} \geq 1\]

Khi hệ \(\left\{\begin{array}{l}x^{2}+x y+y^{2}=3 \\ y^{2}+y z+z^{2}=16\end{array}\right.\) có nghiệm. Chứng minh rằng

\[x y+y z+z x \leq 8\]

Cho \(a, b, c>0\). Chứng minh rằng

\[\frac{a b^{2}}{c}+\frac{b c^{2}}{a}+\frac{c a^{2}}{b}+a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq 2 \sqrt{\left(a b^{3}+b c^{3}+c a^{3}\right)\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)}\]

Cho \(x, y, z \in[0,1]\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{4 x+5}+\dfrac{2}{4 y+5}+\dfrac{3}{4 z+5}=1\). Tìm giá trị lớn nhất của

\[P=x y^{2} z^{3}\]

Cho 4 số thực \(\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}\) thỏa mãn: \(a b c d>a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\). Chứng minh rằng

\[a b c d>a+b+c+d+8\]

Cho \(x, y, z\) là các số thực thỏa mãn \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=3\). Tìm giá trị lớn nhất của

\[P=x y+y z+2 z x\]

Cho \(x, y, z>0\) và \(x y z=8\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\[P=\frac{1}{2 x+y+6}+\frac{1}{2 y+z+6}+\frac{1}{2 z+x+6}\]

Cho \(x, y \neq 0, x y(x+y)=x^{2}+y^{2}-x y\). Tìm giá trị lớn nhất của

\[P=\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}\]

Cho \(a, b, c\) đôi một khác nhau và thuộc \([0 ; 2]\). Tìm giá trị nhỏ nhất của

\[P=\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}\]

Cho \(a, b, c\) là các số thực dương. Chứng minh rằng

\[\frac{a^{2}}{2 a^{2}+b c}+\frac{b^{2}}{2 b^{2}+a c}+\frac{c^{2}}{2 c^{2}+a b} \leq 1\]

Cho \(x, y \in \mathbb{R}\) thỏa mãn \(5 x^{2}+5 y^{2}-5 x-15 y+8 \leq 0\). Tìm giá trị nhỏ nhất của

\[S=x+3 y\]

Cho \(a, b, c>0\) thỏa mãn \(a b c+a+c=b\). Tìm giá trị lớn nhất của

\[P=\frac{2}{a^{2}+1}-\frac{2}{b^{2}+1}+\frac{3}{c^{2}+1}\]

Cho các số \(x, y, z\) thỏa mãn \(1 \leq x, y, z \leq 4\) và \(x \geq y, x \geq z\). Tìm GTNN của biểu thức

\[P=\frac{x}{2 x+3 y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{x+z}\]

Cho \(x \geq y \geq z>0\). Chứng minh rằng

\[\frac{x^{2} y}{z}+\frac{y^{2} z}{x}+\frac{z^{2} x}{y} \geq x^{2}+y^{2}+z^{2}\]

Cho \(a, b, c>0\). Chứng minh rằng:

\[\frac{a^{2}+b c}{b+c}+\frac{b^{2}+c a}{c+a}+\frac{c^{2}+a b}{a+b} \geq a+b+c\]

Cho \(a, b, c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c=1\). Chứng minh rằng

\[\sqrt{a^{2}+\frac{1}{a^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{c^{2}}} \geq \sqrt{82}\]

Cho các số dương \(x, y, z\) thỏa mãn \(x y z=1\). Chứng minh rằng

\[\frac{x^{4} y}{x^{2}+1}+\frac{y^{4} z}{y^{2}+1}+\frac{z^{4} x}{z^{2}+1} \geq \frac{3}{2}\]

Cho \(x, y, z\) là các số thực dương thỏa mãn: \(x y z(x+y+z)=3\). Chứng minh rằng: 

\[ x^2+y^2+z^2 \leq \frac{1}{243}\left(x^5-2 x+4\right)^2\left(y^5-2 y+4\right)^2\left(z^5-2 z+4\right)^2 \]

Với \(a, b, c\) là các số thực không âm, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thực

\[ P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}+\frac{4(a+b+c)}{25} \]

Bài \(7(259)\). Cho các số thực \(x, y, z\) thỏa mãn \(x y+y z+z x=x y z\). Chứng minh rằng

\[(x+y+z+1)^2+8 \geq 4 x y z\]

Cho biểu thức \(B=\sqrt{4 x-2 \sqrt{4 x-1}}+\sqrt{4 x+2 \sqrt{4 x-1}}\) với \(\dfrac{1}{4} \leq x \leq \dfrac{1}{2}\). Khẳng định đúng là:

Cho ba số dương \(a, b, c\) thỏa mãn \(a+b+c=1\) và \(a+b>c ; a+c>b ; b+c>a\).

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(M=\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{b+c}+\dfrac{4}{c+a}+\dfrac{a}{2 b c}+\dfrac{b}{2 c a}+\dfrac{c}{2 a b}-\dfrac{1}{2 a b c}\).

Cho \(a, b, c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a b c=1\). Chứng minh rằng:

\[\dfrac{1}{\sqrt{5+4a}}+\dfrac{1}{\sqrt{5+4b}}+\dfrac{1}{\sqrt{5+4c}} \leq 1\]

Cho \(a, b, c, p, q\) là các số thực dương thỏa mãn \(a b c=1 ; p+q=9 ; \dfrac{p}{q} \geq 1\). Chứng minh rằng:

\[ \frac{1}{\sqrt{p+q a}}+\frac{1}{\sqrt{p+q b}}+\frac{1}{\sqrt{p+q c}} \leq 1 \]

Cho \(x, y, z\) là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện \(x+y+z=x y z\).

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\[P=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+z^2}} \]

1. Tìm tất cả cặp số nguyên \((x, y)\) sao cho \(x y\) là số chính phuơng và \(x^2+x y+y^2\) là số nguyên tố.

2. Với các số thực không âm \(a, b\) và \(c\) thỏa mãn \(a+2 b+3 c=1\), tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[P=(a+6 b+6 c)(a+b+c)\]

a) Với \(x, y, z>0\) thỏa mãn \(x+y+z=x y+y z+z x\), tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức

\[P=\dfrac{x^3}{\sqrt{2\left(y^4+1\right)}}+\dfrac{y^3}{\sqrt{2\left(z^4+1\right)}}+\dfrac{z^3}{\sqrt{2\left(x^4+1\right)}}\]

b) Trong hệ thập phân, có bao nhiêu số tự nhiên \(n\) có 4 chữ số sao cho tổng các chữ số của \(n\) bằng tổng các chữ số của \(n+2007\).

a) Cho \(x,y,x\) là các số thực không âm và không đồng thời bằng 0. Đặt

\[P=\frac{x}{y+z}+2 \sqrt{\frac{y}{z+x}}+3\sqrt[3]{\frac{z}{x+y}}\]

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\).

b) Ba bạn Lãm, Mạnh, Toàn mỗi bạn viết lên bảng một số tự nhiên nhỏ hơn 32. Tính xác suất để tích ba số được viết lên bảng chia hết cho 4 nhưng không chia hết cho 16.

Cho \(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}\) là ba số thực dương. Chứng minh:

\[ \dfrac{x^2}{\sqrt{8 x^2+3 y^2+14 x y}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{8 y^2+3 z^2+14 y z}}+\dfrac{z^2}{\sqrt{8 z^2+3 x^2+14 z x}} \geq \dfrac{x+y+z}{5} \]

Cho \(\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}>0\) và \(a+b+c \geq 9\). Tìm GTNN của 

\[ A=2 \sqrt{a^2+\dfrac{b^2}{3}+\dfrac{c^2}{5}}+3 \sqrt{\dfrac{1}{a}+\dfrac{9}{b}+\dfrac{25}{c}}\]

Cho các số dương \(a, b, c\), chứng minh rằng

\[ \dfrac{a^4}{b^3(c+2 a)}+\dfrac{b^4}{c^3(a+2 b)}+\dfrac{c^4}{a^3(b+2 c)} \geq 1 \]

Cho ba số dương \(\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}\) thỏa mãn \(a b c=2\). Chứng minh rằng

\[ a^3+b^3+c^3 \geq a \sqrt{b+c}+b \sqrt{c+a}+c \sqrt{a+b} \]

Cho \(x, y, z\) là ba số thực dương thỏa mãn \(x(x-z)+y(y-z)=0\). Tìm giá trị nhỏ nhất cùa biểu thức

\[ P=\frac{x^3}{x^2+z^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+4}{x+y} \]

Cho ba số dương \(x, y, z\) thỏa mãn \(x y+y z+z x=5\). Chứng minh

\[ \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+5}}+\dfrac{y}{\sqrt{y^{2}+5}}+\dfrac{3 z}{\sqrt{6\left(z^{2}+5\right)}} \leq \dfrac{2 \sqrt{6}}{3} \]

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào?

Cho các số thực dương \(x, y, z\). Chứng minh rằng

\[ \frac{x \sqrt{x y}}{\sqrt{2 x+y}}+\frac{y \sqrt{y z}}{\sqrt{2 y+z}}+\frac{z \sqrt{z x}}{\sqrt{2 z+x}} \geq \sqrt{3 x y z} \]

Cho \(x, y, z>0\) thoả mãn \(3 x^{2} \leq 2\left(y^{2}+4 y z+z^{2}\right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của

\[ P=\dfrac{y^{2}}{\sqrt{3 x^{2}+20 x y+12 y^{2}}}+\dfrac{z^{2}}{\sqrt{3 x^{2}+20 x z+12 z^{2}}}+\dfrac{4}{(y+z)^{2}} \]

Cho các số thực \(a, b, c\) thoả mãn \(a+b+c=0\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\[ P=\dfrac{2 a-1}{a^{2}+2}+\dfrac{2 b-1}{b^{2}+2}+\dfrac{2 c-1}{c^{2}+2} \]

Cho \(a, b, c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a b c=1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\[ P=\dfrac{1}{a^3+b^2+c}+\dfrac{1}{b^3+c^2+a}+\dfrac{1}{c^3+a^2+b} \]

1) Tim \(x, y\) nguyên thoả mãn

\[ x^3+2 y^3+2 x^2 y+y^2 x+x+2 y=3 \]

2) Với \(x, y, z\) là những số thực thoả mãn

\[ 0 \lt x \leq y \leq z \leq 3, \quad y+z \leq 5, \quad x+y+z \leq 6 \]

Chứng minh rằng

\[ x^2+y^2+z^2 \leq 14 \]

1) Tìm \(x, y\) nguyên thỏa mān

\[ y=\dfrac{x+1}{x^4+1} \]

2) Với \(a, b, c\) là những số thực dương thỏa mãn \(a b+b c+c a=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[ P=2 a^2+b^2+c^2 \]

1. Bạn An chơi game trên máy tính điện tử, máy có phím di chuyển như hình bên. Mỗi lần nhấn phím di chuyển, nhân vật trong game sẽ di chuyển theo hướng mũi tên và độ dài mỗi bước đi là như nhau. Tính xác suất để sau bốn lần di chuyển, nhân vật trong game trở về đúng vị trí ban đầu.

2. Với các số thực \(a, b, c\) thỏa mãn: \(0 \leq a, b, c \leq 1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\[ P=\dfrac{a}{\sqrt{2 b c+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{2 c a+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{2 a b+1}} \]

1) Cho \(x_1 ; x_2 ; \ldots ; x_{10}\) là các số nguyên dương thỏa mãn \(x_1+x_2+\ldots+x_{10}=100\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=x_1 \cdot x_2+x_2 \cdot x_3+\ldots+x_9 \cdot x_{10}\).

2)

a) Tìm tất các số nguyên tố \(p, q, r\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{p q r}=1\)

b) Tìm số tự nhiên \(n\) sao cho \(2^{2025}+2^{2022}+2^n\) là số chính phương.

Cho \(a, b>0\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=6\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\dfrac{1}{3 a+6 b+1}+\dfrac{1}{6 a+3 b+1}\).

a) Cho \(x, y, z\) là các số dương thỏa mãn \(x+y+z=2025\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

\[ A=\dfrac{x}{x+\sqrt{2025 x+y z}}+\dfrac{y}{y+\sqrt{2025 y+z x}}+\dfrac{z}{z+\sqrt{2025 z+x y}}\]

b) Trên một măt bàn phẳng có 2025 đồng xu kích thước bằng nhau, mỗi đồng xu có hai mặt một mặt sấp và một mặt ngửa, đồng thời tất cả các đồng xu đều được xếp mặt ngửa. Trong giờ học ngoại khóa thầy giáo cho các em học sinh của trường thực hiện trò chơi "lật đồng xu" như sau: Mỗi lượt chơi phải đổi mặt 10 đồng xu nào đó trên mặt bàn. Hỏi sau 2026 lượt chơi có thể nhận đưọc tất cả 2025 đồng xu trên mặt bàn đều có mặt sấp hay không? Hãy giải thích vì sao?

1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \(k\) và \(a\) là số nguyên tố lớn hơn 5 thì \(a^{4 k}-1\) luôn chia hết cho 240 .

2) Xét các số dương thay đồi \(a, b, c\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[ T=\dfrac{8\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a b+b c+c a}+\dfrac{27(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)^3} \]

Cho ba số nguyên dương \(a, b, c\) thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=4 a b c-1\).

a) Chứng minh rằng \(a b c \geq 1\).

b) Chứng minh rằng \(a+b+c \geq \sqrt{a b c}+2\).

Cho 3 số thực \(a \geq b \geq c \geq 0\) thỏa mãn \(a + b + c \leq 1\). Chứng minh rằng:

\[ a^2 + 3b^2 + 5c^2 \leq 1\]

1) Một đơn vị bộ đội được xếp thành các hàng ngang. Nếu xếp mỗi hàng 3 người thì thừa 2 người, nếu xếp mỗi hàng 7 người thì thừa 4 người, còn nếu xếp mỗi hàng 5 người thì vừa đủ. Người chỉ huy không nhớ chính xác số quân của đơn vị, chỉ biết rằng số lượng nằm trong khoảng từ 500 đến 600 người. Hãy giúp người chỉ huy xác định chính xác số bộ đội của đơn vị.

2) Cho \(x, y\) là các số thực dương thỏa mān \(x>y>1\) và

\[ (x y+1)^2+(x+y)^2 \leq 2(x+y)\left(x^2-x y+y^2+1\right) . \]

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[ P=\dfrac{\sqrt{x-y}}{y-1} \]

1) Giải phương trình

\[ \dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{3}{x-3}+\dfrac{4}{x-4}=2 x^2-5 x-4 \]

2) Chứng minh rằng giá trị của biểu thức

\[ P=\dfrac{a-b}{a+b}+\dfrac{b-c}{b+c}+\dfrac{c-a}{c+a}+\dfrac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)} \]

không phụ thuộc vào các số thực dương \(a, b, c\).

a/ Giải phương trình 

\[ \sqrt{9-2 x^2}+\sqrt[3]{x^2+4}=3 \]

b) Cho \(x, y, z\) là các số thực dương thỏa mãn \(4 x^2+y^2=32 z^2\). Chứng minh rằng 

\[ \dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}-\dfrac{1}{z} \geq 0 \]

1) Tìm các số nguyên dương \(x, y, z\) thỏa mãn hệ phương trình

\[ \left\{\begin{array}{l} 27 x^3+27 x^2+10 y=(x+3 z)^3 \\ 27 y^3+27 y^2+10 x=(y+3 z)^3 \end{array}\right. \]

2) Với \(a, b, c\) là các số thực dương thỏa mãn điều kiện

\[ (a+2) b^2+(b+2) c^2+(c+2) a^2 \geq 8+a b c \]

Chứng minh rằng

\[ 2(a b+b c+c a) \leq a^2(a+b)+b^2(b+c)+c^2(c+a) \]

a) Tất cả các số nguyên dương \(x, y\) thỏa mãn

\[ (x+y)^3+6 x y+3 y^2+y=8 x^3+9 x^2+1 \]

b) Xét các số thực dương \(x_1, x_2, \ldots, x_{2024}\) thỏa mãn \(x_1 x_2 \cdots x_{2024}=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

\[ P=\left(x_1^2-x_1+1\right)\left(x_2^2-x_2+1\right) \cdots\left(x_{2024}^2-x_{2024}+1\right) \]

1) Giả sử \(n\) là số nguyên sao cho \(3 n^3-1011\) chia hết cho 1008 . Chứng minh rằng \(n-1\) chia hết cho 48.

2) Với \(a, b, c\) là các số dương thỏa mãn điều kiện \(a b+b c+c a=1\). Chứng minh rằng

\[ \left(1+\dfrac{1}{1+a^2}\right)\left(1+\dfrac{1}{1+b^2}\right)\left(1+\dfrac{1}{1+c^2}\right)>4 \]

1) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \((x ; y)\) thỏa mãn

\[ 4^x+\left(1+3^y\right)\left(1+7^y\right)=2^x\left(3^y+7^y+2\right) \]

2) Với \(x, y, z\) là những số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\[ M=\dfrac{x^{14}-x^6+3}{x^2 y^2+z x+z y}+\dfrac{y^{14}-y^6+3}{y^2 z^2+x y+x z}+\dfrac{z^{14}-z^6+3}{z^2 x^2+y z+y x} \]

Cho \(a, b, c\) là những số thực dương. Chứng minh rằng

\[ \dfrac{2 a}{a+b}+\dfrac{a+b}{a+c}+\dfrac{6 a+2 c}{3 b+c}+\dfrac{4 a+3 b+c}{b+c} \geq \dfrac{32 a}{2 a+b+c} \]

1) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \((x, y)\) thỏa mãn đẳng thức

\[ (x+y)(5 x+y)^3+x y^3=(5 x+y)^3+x^2 y^3+x y^4 \]

2) Với \(a, b, c\) là những số thực dương thỏa mãn các điều kiện sau:

\[ \left\{\begin{array}{cc} c \leq b<\mathrm{a} \leq 3, \quad b^2+2 a \leq 10, \quad b^2+2 a+2 c \leq 14, \\ \left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)+4 a b \leq 2 a^3+2 b^3+2 a+2 b . \end{array}\right. \]

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\[ P=4 a^2+b^4+2 b^2+4 c^2 \]

Cho \(\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}\) là các số thực không âm thỏa mãn \(\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca}=3\).

Chứng minh rằng

\[ \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a} \geq \dfrac{5 \sqrt{3}}{6}\]

Cho \(x, y, z\) là các số thực không âm thỏa mãn \(x+y+z=3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=x^2+y^2+2 z^2+2 x y z\).