Toán 9 - Hình học

Cho tam giác ABC nhọn có đường tròn ngoại tiếp tâm O, đường tròn nội tiếp tâm I. M là điểm chính giữa cung BAC. D là điểm tiếp xúc của đường tròn tâm I và BC. Đường tròn đường kính AI cắt đường tròn tâm O tại T. Chứng minh rằng đường tròn tâm M bán kính MA tiếp xúc với đường tròn đi qua 3 điểm BDT và cũng tiếp xúc với đường tròn đi qua 3 điểm CDT.

Từ điểm A nằm ngoài (O ; R), vẽ các tiếp tuyến A B, A C đến (O). Gọi A O cắt B C tại D. Trên A B, A C lần lượt lấy F, E sao cho E F || B C, O E>R, \(A E \neq E C\), O E cắt B C tại G. Lấy điểm K nằm trên A B sao cho K E là tiếp tuyến của (O).
a) Chứng minh \(\triangle A K O \backsim \triangle C G O\).
b) Gọi E F cắt O C tại S, A D cắt E F tại H. Chứng minh rằng \[ \frac{A K}{B K}=\frac{S E}{H E} \quad \text { và } \quad \frac{A K}{B K}=\frac{A E \cdot C E}{H E^2} . \] c) Dường thẳng qua E song song với C D cắt A D tại J. Trên tia đối của tia C A, lấy điểm L sao cho L J là phân giác \(\widehat{A L B}\). Gọi K L, A D cắt B E tại M, N. Chứng minh rằng B M=E N.

1) Cho tam giác \(A B C\) nhọn có các đường cao \(A D ; B E\) và \(C F\) cắt nhau tại \(H\) ( \(D \in B C ; E \in A C ; F \in A B\) ). Qua \(B\) kẻ đường thẳng song song với \(C F\) cắt tia \(A D\) tại \(K\).
a) Chứng minh \(\triangle A E F \backsim \triangle A B C\).
b ) Gọi \(I\) là trung điểm \(B C\), tia \(H I\) cắt \(B K\) tại \(N\). Chứng minh \(A N\) vuông góc \(E F\).
2) Cho góc nhọn \(\alpha\) biết \(\tan \alpha=2\). Tính giá trị biểu thức \[ M=\frac{\sin ^3 \alpha+\cos ^3 \alpha-\sin \alpha \cdot \cos ^2 \alpha}{4 \cdot \cos ^3 \alpha-3 \cdot \sin ^3 \alpha+8 \cdot \sin ^2 \alpha \cdot \cos \alpha} \]

Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O; R) vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O). Vẽ đường kính BD của (O), AD cắt đường tròn tại điềm thứ hai là M, BC cắt AO tại H .
a) Chứng minh tứ giác OHMD nội tiếp.
b) Tiếp tuyến của (O) tại D cắt tia BC tại E , gọi N là trung điểm của MD . Chứng minh ba điểm ENO thẳng hàng.
c) Tiếp tuyến của (O) tại M cắt AB, AC lần lượt tại P và Q . Đường tròn (I) nội tiếp tam giác APQ tiếp xúc với AQ, PQ lần lượt tại D' và E'. Chứng minh rằng ba đường thẳng D'E', CM, AO đồng quy.

Cho tam giác \(ABC\) nhọn \((AB \gt AC\) nội tiếp đường tròn \((O)\), có đường cao \(AH\). Gọi \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\). Đường thẳng \(AI\) cắt đường tròn \((O)\) tại điểm thứ hai là \(M\). Kẻ đường kính \(AK\) của đường tròn \((O)\). Đường thẳng \(MK\) cắt các đường thẳng \(AH\) và \(BC\) thứ tự tại \(P\) và \(Q\). Gọi \(F\) là giao điểm của \(AM\) và \(BC\).

a) Chứng minh: \(FA.FM=FH.FQ\).

b) Chứng minh: \(\triangle AKP\) cân.

c) Chứng minh: \(MB^2=MK . MQ\) và tứ giác \(QIHP\) nội tiếp.

d) Đường thẳng \(KI\) cắt đường tròn \((O)\) tại điểm thứ hai là \(D\). Hai đường thẳng \(AD\) và \(BC\) cắt nhau tại \(R\). Gọi \(E\) là trung điểm của \(AR\). Chứng minh ba điểm \(Q,I,E) thẳng hàng.

1) Hai con thuyền \(P\) và \(Q\) cách nhau 150 m và thẳng hàng với chân \(B\) của tháp hải đăng ở trên bờ biển. Từ \(P\) và \(Q\) người ta nhìn thấy đỉnh \(A\) của tháp hải đăng dưới các góc \(B P A=30^{\circ}\) và \(B Q A=60^{\circ}\) (tham khảo hình vẽ bên). Tính chiều cao \(A B\) của tháp hải đăng.

2) Cho nửa đường tròn \((O)\), đường kính \(A B\), lấy điểm \(C\) nằm trên nửa đường tròn \((O)\) ( \(C\) khác \(A\) và \(C\) khác \(B\) ). Gọi \(K\) là trung điểm của dây cung \(B C\). Qua \(B\) dựng tiếp tuyến với \((O)\) và cắt \(O K\) tại \(D\).

a) Chứng minh rằng \(A C\) song song với \(O K\).

b) Chứng minh rằng \(D C\) là tiếp tuyến \((O)\).

c) Vẽ \(C H \perp A B\) tại \(H\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(C H\). Tiếp tuyến tại \(A\) của đường tròn \((O)\) cắt \(B I\) tại \(E\). Chứng minh rằng ba điểm \(E, C, D\) thẳng hàng.

Cho tam giác \(ABC\) nhọn có ba đường cao \(AD, BE, CF\) cắt nhau tại \(H\). 

a) Chứng minh \(BH \cdot BE = BC \cdot BD\) và \(BH \cdot BE + CH \cdot CF = BC^2\). 

b) Chứng minh \(BH = AC \cdot \cos \angle ABC\). 

c) Gọi \(M, N, P, Q\) lần lượt là chân đường vuông góc từ \(H\) đến \(BE, CF, AB, AC\). Chứng minh 4 điểm \(M, N, P, Q\) thẳng hàng.

Cho tam giác không vuông \(A B C(A B<A C)\) với trực tâm \(H\), nội tiếp đường tròn \((O)\). Gọi \(L\) là đối xứng của \(A\) qua đường thẳng \(O H\). Chứng minh rằng tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(OHL\) nằm trên đường thẳng \(B C\).

Cho tam giác \(A B C\) \((A B

Cho đường tròn \((O)\) và dây cung \(B C\) cố định ( \(B C\) không đi qua tâm). Trên cung lớn \(B C\) lấy điểm \(A\) sao cho tam giác \(A B C\) nhọn và \( A B \lt AC \). Tiếp tuyến tại A của đường tròn \((O)\) cắt tiếp tuyến tại \(B\) và \(C\) của đường tròn \((O)\) tại điểm \(D\) và \(E\). Trên đường thằng \(B C\) lấy điểm \(K\) sao cho \(K E\) song song với \(B D\).

a) Chứng minh tam giác \(E A K\) cân.

b) Gọi \(H\) là trực tâm tam giác \(A B C\). Đường thẳng qua \(H\) cất các đường thẳng \(A B, A C\) lần lượt tại các điểm \(M, N\) sao cho \(H M=H N\). Chứng minh \(A H . H F=B F . N H\) với \(F\) là trung điểm \(B C\).

c) Gọi \(G\) là giao điểm của \(A B\) và \(O D\). Vẽ \(G I\) vuông góc với \(A C\) ( \(I\) thuộc \(A C\) ). Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng \(IC\) luôn đi qua một điểm cố định khi \(A\) thay đổi.

Cho tam giác \(A B C\) nội tiếp đường tròn \((O, R)\) có các đường cao \(A D, B E, C F\) dồng quy tại trực tâm \(H\). Vẽ đường kính \(A L\). Cho biết \(\widehat{B A C}=60^{\circ}, \widehat{A C B}=45^{\circ}\).

a) Chứng minh tứ giác \(B H C L\) là hình bình hành và tính \(A H\) theo \(R\).

b) Gọi \(N\) là giao điểm của \(B E\) và \(O A\). Chứng minh rằng tứ giác \(B H O C\) nội tiếp và \(H\) là trung điểm của \(B N\).

c) Chứng minh rằng các đường thẳng \(C F, B O, D E\) đồng quy.

d) Gọi \(T\) là giao điểm của \(D E\) và \(O H\). Chứng minh rằng \(T F=T D\).

Cho tam giác nhọn \(A B C\) nội tiếp đường tròn \((O)\), ba đường cao \(A D, B F, C E\) cắt nhau tại \(H\), vẽ \(O K \perp B C(K \in B C)\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(A H\), gọi \(J\) là giao điểm của \(A H\) và \(E F\), kẻ đường kính \(A P\) của đường tròn \((O)\).

a. Chứng minh: \(O K=\frac{1}{2} A H\) và \(I K\) đi qua trung điểm của \(E F\).

b. Đường thẳng qua \(B\) song song với \(A C\) cắt đường thẳng \(C E\) tại \(S\). Chứng minh: \(I F^2=I J . I D\) và \(K S / / C J\).

Cho tam giác \(A B C\) có ba cạnh tiếp xúc với đường tròn \((I)\). Gọi \(E, F\) lần lượt là tiếp điểm của đường tròn \((I)\) với \(A C\) và \(A B\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điềm của \(B C\) và \(A C\). Chứng minh ba đường thẳng \(B I, M N, E F\) đồng quy.

Cho tam giác \(A B C\) nhọn, các đường cao \(A D, B E, C F\) cắt nhau tại \(H\). Gọi \(M\) là trung điểm của HC, N là trung diểm của \(A C, A M\) cắt \(H N\) tại \(G\). Đường thắng đi qua \(M\) vuông góc với \(H C\) và đường thẳng đi qua \(N\) vuông góc với \(A C\) cắt nhau tại \(K\).

1) Chứng minh \(\triangle A B H\) đồng dạng \(\triangle M K N\) và tính \(\dfrac{G A^2+G B^2+G H^2}{G M^2+G K^2+G N^2}\).

2) Chứng minh \(3 \cos A+4 \cos B+6 \cos C<\dfrac{29}{4}\).

Cho tam giác đều \(A B C\), đường tròn \((O)\) tiếp xúc với ba cạnh \(A B, A C, B C\) lần luợt tại ba điểm \(D,E,F\). Điểm \(M\) thuộc đường tròn \((O)\), tiếp tuyến tại \(M\) của đường tròn \((O)\) cắt các cạnh \(AB, AC\) theo thứ tự \(P,Q\) \((P \neq A, D ; Q \neq A, E)\).

1) Kẻ \(QH\) vuông góc với \(AP\) tại \(H\). Chứng minh: \(2.AH^2+2AH.PH=AP.AQ\) và tỉ số \(\dfrac{PQ^2+AP.AQ}{AP^2+AQ^2}\) không đổi

2) Chứng minh \(\dfrac{A P}{B P}=\dfrac{A P-A Q+C Q}{B P+C Q}\)

Cho đường tròn \((O ; R)\) và dây cung \(B C\) cố định của đường tròn thỏa mãn \(B C<2 R\). Một điểm \(A\) di chuyển trên \((O ; R)\) sao cho tam giác \(A B C\) có ba góc nhọn. Các đường cao \(A D, B E, C F\) của tam giác \(A B C\) cắt nhau tại \(H\). Đường phân giác của \(\widehat{C H E}\) kéo dài về hai phía cắt \(A B\) và \(A C\) lần lượt tại \(M\) và \(N\).

1. Chứng minh tam giác \(A M N\) cân tại \(A\).

2. Gọi \(I, P, Q, J\) lần luợt là hình chiếu của \(D\) trên các cạnh \(A B, B E, C F, A C\). Chứng minh rằng bốn điểm \(I, P, Q, J\) cùng nằm trên một đuờng thẳng vuông góc với \(A O\).

3. Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(A M N\) cắt đường phân giác trong của \(\widehat{B A C}\) tại điểm thứ hai K. Chứng minh rằng HK luôn đi qua một điểm cố định.

Cho tam giác \(A B C\) có ba góc nhọn \((A B \lt A C)\), nội tiếp đường tròn \((O)\). Ba đường cao \(A D, B E\) và \(C F\) của tam giác \(A B C\) cùng đi qua điểm \(H\). Đường thẳng \(E F\) cắt đurờng thẳng \(A D\) tại điểm \(Q\). Gọi \(M\) và \(I\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(B C\) và \(A H\). Đường thẳng \(I M\) cắt đường thẳng EF tại điểm \(K\).

1. Chứng minh tam giác \(AEK\) đồng dạng với tam giác \(A B M\).

2. Đường thẳng \(EF\) cắt đường thẳng \(B C\) tại điểm S, đường thẳng \(SI\) cắt đường thẳng \(M Q\) tại điểm \(T\). Chứng minh bốn điểm \(A, T, H\) và \(M\) cùng thuộc một đường tròn.

3. Tia \(TH\) cắt đường tròn \((O)\) tại điểm P. Chứng minh ba điểm \(A, K\) và \(P\) là ba điểm thẳng hàng.

Cho tam giác \(A B C\) nhọn, \(A B \lt A C\), nội tiếp đường tròn \((O)\), các đường cao \(B E, C F\).

a) Chứng minh \(A O \perp E F\).

b) Gọi tiếp tuyến tại \(A\) của \((O)\) cắt \(B C\) tại \(T\). Gọi \(N\) là trung điểm của \(A H\). Gọi đuờng thẳng \(T N\) cắt đường thẳng \(B E\) tại \(G\). Chứng minh \(A G \perp A B\). 

c) Gọi đường thằng \(TN\) cắt cạnh \(AB,AC\) tại \(P,Q\). Điểm \(I\) thay đổi trên đoạn thẳng \(PQ\) (\(I\) khác \(P,Q\)). Điểm \(K, L\) thuộc đường thằng \(H Q, H P\) sao cho \(I K \perp A B, I L \perp A C\). Gọi \(P K\) cắt \(Q L\) tại \(S\). Kẻ \(D X\) vuông góc với đường thẳng \(IS\) tại \(X\). Chứng minh \(X\) thuộc một đường cố định khi \(I\) thay đổi.

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(M\) là trung điểm \(AB\). Gọi \(D\) là điểm trên đoạn thẳng \(BC\) sao cho \(BD=BA\) và \(P\) là điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ADC\) thỏa mãn \(\widehat{APB} = 90^o\).

a) Gọi \(U\) nằm trên đường thẳng \(AP\) sao cho \(BU\) vuông góc với \(MP\). Chứng minh rằng \(\widehat{BAP} = \widehat{UBP}\).

b) Gọi \(V\) là điểm nằm trên \(DP\) sao cho \(BV\) song song với \(MP\). Chứng minh rằng \(PU.BV = BU.PV\).

c) Chứng minh rằng đường thẳng \(CP\) chia đôi đoạn thẳng \(UV\).