Bài toán chi tiết
Bài 100 (Thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2022-2023 của tỉnh Bắc Ninh)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 2 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 93
BẢN INCho các số thực \(a, b, c\) sao cho phương trình \(a x^2+b x+c+2022=0\) nhận \(x=1\) là nghiệm. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\[ \begin{aligned} & P=\sqrt{3 a^2-2 a b+3 b^2}+\sqrt{5 b^2-6 b c+5 c^2} \\ &+\sqrt{6 c^2-8 c a+6 a^2} \end{aligned} \]
Cách giải 1
Dễ thấy phương trình \(a x^2+b x+c+2022=0\) khi \(x=1\) thì có dạng:
\[ a+b+c=-2022\]
Áp dụng đẳng thức: "Cho \(a,b,c,k,p \in \mathbb{R} \), khi đó:
\[ k a^2+p a b+k b^2=\frac{2 k+p}{4}(a+b)^2+\frac{2 k-p}{4}(a-b)^2 \]
Chú ý:
- Nếu \(2 k \gt p \Rightarrow k a^2+p a b+k b^2 \geq \frac{2 k+p}{4}(a+b)^2\). Dấu đẳng thức xày ra \(\Leftrightarrow a=b\).
- Nếu \(2 k \lt p \Rightarrow k a^2+p a b+k b^2 \leq \frac{2 k+p}{4}(a+b)^2\). Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\).
ta được:
\[ \sqrt{3 a^2-2 a b+3 b^2}=\sqrt{(a+b)^2+2(a-b)^2} \geq|a+b| \]
Tương tự:
\[ \begin{aligned} \sqrt{5 b^2-6 b c+5 c^2} & \geq|b+c| \\ \sqrt{6 c^2-8 c a+6 a^2} & \geq c+a \mid \end{aligned} \]
Suy ra:
\[ \begin{aligned} P & \geq|a+b|+|b+c|+|c+a| \geq|a+b+b+c+c+a| \\ \quad= & |a+b+c|=2|-2022|=4044 . \end{aligned} \]
Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=-674\). Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là 4044 khi \(a=b=c=-674\).
