Bài toán chi tiết

Bài 1001 (Đề thi Chuyên toán lớp 10 KHTN năm học 2023 - Vòng 2)

02-05-2025 | 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1174

Cách giải 1

a) Phương trình đã cho có thể được viết lại thành \(\left(2^x-3^y-1\right)\left(2^x-7^y-1\right)=0\). Từ đó \(2^x=3^y+1\) hoặc \(2^x=7^y+1\).

Trường hợp 1: \(2^x=3^y+1\). Giả sử \(x \geq 3\), khi đó từ phương trình ta suy ra \(3^y+1\) chia hết cho 8 , tức \(3^y\) chia 8 dư 7 . Tuy nhiên, bằng kiểm tra trực tiếp, ta dễ thấy \(3^y\) chỉ có thể chia \(8 \mathrm{dư}\) 1 hoặc 3 mà thôi. Từ mâu thuẫn này, ta suy ra \(x \leq 2\). Thử trực tiếp, ta được \((x, y)=(2,1)\).

Trường hợp \(2: 2^x=7^y+1\). Tự phương trình, ta suy ra \(2^x \equiv 1(\bmod 7)\). Từ đó, bằng kiểm tra trực tiếp, ta dễ thấy \(x\) phải là một bội của 3 . Đặt \(x=3 k\) với \(k\) nguyên dương, phương trình có thế được viết lại thành \((a-1)\left(a^2+a+1\right)=7^y\), trong đó \(a=2^k\). Suy ra \(a-1\) và \(a^2+a+1\) đều là lũy thừa của 7 . Mà \(a^2+a+1>a-1\) nên \(a^2+a+1\) chia hết cho \(a-1\). Vi \(a^2+a+1=(a-1)(a+2)+3\) nên 3 chia hết cho \(a-1\), mà \(a-1\) là một lũy thừa của 7 nên \(a-1=1\), tức \(a=2\). Suy ra \(k=1\), tức \(x=3\). Một cách tương ứng, ta tìm được \(y=1\). Vậy, có hai cặp số \((x, y)\) thỏa mãn yêu cầu đề bài là \((2,1)\) và \((3,1)\).

b) Chú ý rằng \(\left(x^8-1\right)\left(x^6-1\right) \geq 0\), do đó \(x^{14}-x^6 \geq x^8-1\). Từ đó suy ra

\[ x^{14}-x^6+3 \geq x^8+2 \geq 2 x^4+1 \]

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự, ta được \(M \geq 2 A+B\), trong đó

\[ \begin{aligned} A & =\dfrac{x^4}{x^2 y^2+z x+z y}+\dfrac{y^4}{y^2 z^2+x y+x z}+\dfrac{z^4}{z^2 x^2+y z+y x} \\ B & =\dfrac{1}{x^2 y^2+z x+z y}+\dfrac{1}{y^2 z^2+x y+x z}+\dfrac{1}{z^2 x^2+y z+y x} \end{aligned} \]

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, kết hợp với các bất đẳng thức quen thuộc (có thể chứng minh bằng biến đổi tương đương) \(x^2 y^2+y^2 z^2+z^2 x^2 \leq \dfrac{1}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\) và \(x y+y z+z x \leq x^2+y^2+z^2\), ta được

\[ \begin{aligned} & A \geq \dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2 y^2+y^2 z^2+z^2 x^2+2(x y+y z+z x)} \geq \dfrac{a^2}{\dfrac{1}{3} a^2+2 a}=\dfrac{3 a^2}{a(a+6)} \\ & B \geq \dfrac{9}{x^2 y^2+y^2 z^2+z^2 x^2+2(x y+y z+z x)} \geq \dfrac{9}{\dfrac{1}{3} a^2+2 a}=\dfrac{27}{a(a+6)} \end{aligned} \]

trong đó \(a=x^2+y^2+z^2\). Suy ra

\[ M \geq \dfrac{6 a^2}{a(a+6)}+\dfrac{27}{a(a+6)}=\dfrac{3\left(2 a^2+9\right)}{a^2+6 a} \geq \dfrac{3\left(2 a^2+9\right)}{a^2+\left(a^2+9\right)}=3 \]

Mặt khác, dễ thấy với \(x=y=z=1\), thì \(M=3\). Vậy \(\min M=3\).