Bài toán chi tiết
Bài 1007 (Đề thi Chuyên toán lớp 10 KHTN năm học 2022 - Vòng 1)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1089
BẢN INCho \(a, b, c\) là những số thực dương. Chứng minh rằng
\[ \dfrac{2 a}{a+b}+\dfrac{a+b}{a+c}+\dfrac{6 a+2 c}{3 b+c}+\dfrac{4 a+3 b+c}{b+c} \geq \dfrac{32 a}{2 a+b+c} \]
Cách giải 1
Sử dụng các bất đẳng thức AM-GM và Cauchy-Schwarz , ta có
\[ \begin{aligned} \mathrm{VT}_{(1)} & =\left(\dfrac{2 a}{a+b}+\dfrac{a+b}{a+c}\right)+\left[\dfrac{2(3 a+c)}{3 b+c}+\dfrac{3 b+c}{b+c}\right]+\dfrac{4 a}{b+c} \\ & \geq 2 \sqrt{\dfrac{2 a}{a+c}}+2 \sqrt{\dfrac{2(3 a+c)}{b+c}}+\dfrac{4 a}{b+c}=\dfrac{4 a}{\sqrt{2 a(a+c)}}+2 \sqrt{\dfrac{2(3 a+c)}{b+c}}+\dfrac{4 a}{b+c} \\ & \geq \dfrac{8 a}{3 a+c}+2 \sqrt{\dfrac{2(3 a+c)}{b+c}}+\dfrac{4 a}{b+c}=\left[\dfrac{8 a}{3 a+c}+\sqrt{\dfrac{2(3 a+c)}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{2(3 a+c)}{b+c}}\right]+\dfrac{4 a}{b+c} \\ & \geq 3 \sqrt[3]{\dfrac{16 a}{b+c}}+\dfrac{4 a}{b+c}=\dfrac{12 a}{\sqrt[3]{2 a \cdot 2 a \cdot(b+c)}}+\dfrac{4 a}{b+c} \geq \dfrac{36 a}{4 a+b+c}+\dfrac{4 a}{b+c} \\ & =4 a\left(\dfrac{9}{4 a+b+c}+\dfrac{1}{b+c}\right) \geq 4 a \cdot \dfrac{(3+1)^2}{4 a+b+c+b+c}=\dfrac{32 a}{2 a+b+c} \end{aligned} \]
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
