Bài toán chi tiết

Bài 1009 (Đề thi Chuyên toán lớp 10 KHTN năm học 2022 - Vòng 2)

02-05-2025 | 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1177

Cách giải 1

a) Phương trình đã cho tương đương với

\[ (x+y-1)\left[(5 x+y)^3-x y^3\right]=0 \]

Vì \(x+y-1>0\) nên từ đây, ta có \((5 x+y)^3=x y^3\). Suy ra \(x\) là số lập phương. Đặt \(x=a^3\) với \(a\) nguyên dương thì ta có \(5 a^3+y=a y\), hay \(y(a-1)=5 a^3\). Suy ra \(5 a^3\) chia hết cho \(a-1\), từ đó \(5=5 a^3-5\left(a^3-1\right)\) chia hết cho \(a-1\). Suy ra \(a-1 \in\{1,5\}\), hay \(a \in\{2,6\}\).

- Với \(a=2\), ta có \(y=40\). Một cách tương ứng, ta được \((x, y)=(8,40)\).

- Với \(a=6\), ta có \(y=216\). Một cách tương ứng, ta được \((x, y)=(216,216)\).

Vậy có hai cặp số nguyên dương \((x, y)\) thỏa mãn yêu cầu đề bài là \((8,40)\) và \((216,216)\).

b) Giả thết \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)+4 a b \leq 2\left(a^3+b^3+a+b\right)\) có thể được viết lại thành

\[ \left(a^2-2 b+1\right)\left(b^2-2 a+1\right) \leq 0 \]

Vì \(a^2-2 b+1>a^2-2 a+1=(a-1)^2 \geq 0\) nên từ đây, ta có \(b^2-2 a+1 \leq 0\). Đặt \(x=2 a\), \(y=b^2+1\) và \(z=2 c\), khi đó ta có \(6 \geq x \geq y \geq 2 b \geq 2 c=z\). Từ các giả thiết, ta có \(x+y \leq 11, x+y+z \leq 15\). Ngoài ra, ta cũng có

\[ P+1=x^2+y^2+z^2 \]

Chú ý rằng

\[ \begin{aligned} 6^2+5^2 & +4^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)=(6+x)(6-x)+(5+y)(5-y)+(4+z)(4-z) \\ & =(1+x-y)(6-x)+(1+y-z)(11-x-y)+(4+z)(15-x-y-z) \geq 0 \end{aligned} \]

Suy ra \(P+1 \leq 6^2+5^2+4^2=77\), hay \(P \leq 76\). Dấu đẳng thức xảy ra khi \(x=6, y=5\) và \(z=4\), hay \(a=3, b=c=2\). Vậy max \(P=76\).